Как решать двойные пределы

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы.
2) Записи под значком предела, в данном случае Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы).
3) Функции под знаком предела, в данном случае Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы.

Сама запись Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределычитается так: «предел функции Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыпри икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, затем Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, …, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разбираемся, что такое Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы? Это тот случай, когда Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределынеограниченно возрастает, то есть: сначала Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, потом Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, потом Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, затем Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыи так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы?
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, …

Итак: если Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, то функция Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыстремится к минус бесконечности:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыбесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Опять начинаем увеличивать Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыдо бесконечности и смотрим на поведение функции:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Вывод: при Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыфункция Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределынеограниченно возрастает:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, попробуйте построить последовательность Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы. Если Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, то Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы.

! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, то все равно Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыи т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Пределы с неопределенностью вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыи метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Вычислить предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы. Можно было бы подумать, что Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыв старшей степени:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыв старшей степени:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределынеобходимо разделить числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыв старшей степени.

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Разделим числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Вот оно как, ответ Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Найти предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Снова в числителе и знаменателе находим Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыв старшей степени:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыделим числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы.
Полное оформление задания может выглядеть так:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разделим числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Найти предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыможно записать как Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы)
Для раскрытия неопределенности Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределынеобходимо разделить числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разделим числитель и знаменатель на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Под записью Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыподразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыу нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыи метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Сначала находим дискриминант:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
И квадратный корень из него: Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы.

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Таким образом:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыуже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Очевидно, что можно сократить на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разложим числитель на множители.
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Вычислить предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Сначала «чистовой» вариант решения

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Знаменатель:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Найти предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Получена неопределенность вида Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы, которую нужно устранять.
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыиспользуют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
И смотрим на наш предел: Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Что можно сказать? Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыу нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы(которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределымы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Неопределенность Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределыне пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Найти предел Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Разложим числитель на множители:
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы
Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы

Спасибо за внимание.

Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как решать двойные пределы. Смотреть фото Как решать двойные пределы. Смотреть картинку Как решать двойные пределы. Картинка про Как решать двойные пределы. Фото Как решать двойные пределы Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *