Как решать дробные квадратные неравенства
Решение целых и дробно рациональных неравенств
Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.
Понятие рациональных равенств
Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:
Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.
Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:
А вот неравенство вида 5 + x + 1 x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.
Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).
Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.
Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.
Как решать целые неравенства
Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:
Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.
Решение
Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.
x · ( x + 3 ) + 2 · x − ( x + 1 ) 2 − 1 ≤ 0
Решение
Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.
( x 2 + 1 ) 2 − 3 · x 2 − ( x 2 − x ) · ( x 2 + x ) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Ответ: любое действительно число.
Решение
Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.
Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :
Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.
Решение
Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
( x 2 + 2 ) · ( x + 4 ) − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 0
В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.
Решение
Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:
Как решать дробно рациональные неравенства
Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.
Решение
После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю ( x − 3 ) 2 · ( x + 1 ) :
Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:
Используем метод интервалов:
Решение
Переносим выражения из правой части в левую:
Далее выполняем преобразование левой части. Сначала преобразуем первую дробь:
Учитывая получившийся результат, запишем:
В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.
Решение
Решений у этой системы нет, поскольку
Дробно-рациональные неравенства
Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств
Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).
Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. Некоторые отличия возникают только в «цвете» точек на числовой прямой (о «цвете» точек, см. §7 данного справочника).
При решении строгих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя и знаменателя – «белые».
При решении нестрогих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя – «чёрные», а все точки, попадающие на числовую прямую как корни знаменателя – «белые» (т.к. знаменатель не может быть равен 0).
С учётом этого замечания, для решения дробно-рациональных и целых рациональных неравенств применяются одни и те же алгоритмы.
По условию дробь неотрицательная,$ \ge 0$. Выбираем промежутки, помеченные «+», учитываем цвет точек за счёт круглых и квадратных скобок:
$ x \in (-\infty;-2) \cup [3;+\infty)$
Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
Раскладываем числитель и знаменатель на множители:
Выносим все корни из скобок на числовую прямую (все точки «белые»), определяем знаки промежутков:
Выбираем промежутки с «+».
Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю:
Раскладываем числитель на множители:
Выбираем промежутки с «+».
Сравните решения, сделайте выводы.
Возвращаемся к исходной переменной:
Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)
Ось симметрии:$ x_0 = \frac
В этой же системе координат строим уровни:
и отмечаем области:
Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:
Дробно-рациональные неравенства
А сегодня рациональные неравенства не все могут решать. Точнее, решать могут не только лишь все. Мало кто может это делать.
© Кличко
Этот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь Избранные. Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей и.
Полагаю, что для вас не составит труда решить, например, вот такую дичь (кстати, попробуйте для разминки):
Теперь немного усложним задачу и рассмотрим не просто многочлены, а так называемые рациональные дроби вида:
А это — не рациональное, а самое обычное неравенство, которое решается методом интервалов:
Забегая вперёд, сразу скажу: существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого.
Что уже нужно знать
Важных фактов не бывает много. Действительно потребуются нам всего четыре.
Формулы сокращённого умножения
Да, да: они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже. Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие:
Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности!). Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения.
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Напомню, что квадратным уравнением называется вот это:
Дальше всё зависит от знака дискриминанта:
Сами корни считаются по всем известной формуле:
Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок: что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать.:)
Действия с рациональными дробями
Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт.
Определение. Рациональная дробь — это выражение вида
Очевидно, что из такой дроби легко получить неравенство — достаточно лишь приписать знак «больше» или «меньше» справа. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто.
Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок.
Поэтому для успешного решения рациональных уравнений необходимо твёрдо усвоить два навыка:
Как разложить многочлен на множители? Очень просто. Пусть у нас есть многочлена вида
Решение. Для начала посмотрим на знаменатели: все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители:
Обратите внимание: во втором многочлене старший коэффициент «2» в полном соответствии с нашей схемой сначала оказался перед скобкой, а затем был внесён в первую скобку, поскольку там вылезла дробь.
То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «−5» в итоге оказался внесён во вторую скобку (помните: вносить множитель можно в одну и только в одну скобку!), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями.
Что касается первого многочлена, там всё просто: его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме Виета.
Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями:
Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что-нибудь простое, с чем легко работать.
Однако так будет не всегда. Поэтому сейчас мы рассмотрим более серьёзную задачу.
Но сначала разберёмся с тем, как привести две дроби к общему знаменателю. Алгоритм предельно прост:
Возможно, этот алгоритм вам покажется просто текстом, в котором «много букв». Поэтому разберём всё на конкретном примере.
Решение. Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке:
В отличие от предыдущей задачи, тут со знаменателями всё не так просто. Разложим на множители каждый из них.
Больше ничего разложить на множители нельзя, поскольку в первой скобке стоит линейный двучлен, а во второй — уже знакомая нам конструкция, которая не имеет действительных корней.
Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид:
Обратите внимание на вторую строчку: когда знаменатель уже общий, т.е. вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Лучше напишите лишнюю строчку и отметьте, что, скажем, перед третьей дробью стоял минус — и он никуда не денется, а будет «висеть» в числителе перед скобкой. Это избавит вас от множества ошибок.
Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Имеем:
Теперь точно так же разберёмся со второй скобкой. Тут я просто напишу цепочку равенств:
Возвращаемся к исходной задачи и смотрим на произведение:
Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей: показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом.
И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно-рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки.:)
Основной способ решения рациональных неравенств
Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики.
Но для начала отметим важную деталь. Все неравенства делятся на два типа:
Неравенства второго типа легко сводятся к первому, а также уравнению:
\[f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin
Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны: мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям. Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов.
Итак, схема есть. Давайте потренируемся.
Приравниваем к нулю числитель:
Четвёртый пункт. Отмечаем полученные корни на числовой прямой:
Все точки выколоты, поскольку неравенство — строгое
Обратите внимание: все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. И тут уже неважно: из числителя эти точки пришли или из знаменателя.
\[f\left( x \right)=\frac
Итак, справа от всех корней у нас положительная область. А при переходе через каждый корень знак меняется (так будет не всегда, но об это позже). Поэтому переходим к пятому пункту: расставляем знаки и выбираем нужное:
Возвращаемся к последнему неравенству, которое было перед решением уравнений. Собственно, оно совпадает с исходным, ведь никаких преобразований в этой задаче мы не выполняли.
Вот и всё! Разве сложно? Нет, не сложно. Правда, и задачка была лёгкая. Сейчас чуть усложним миссию и рассмотрим более «навороченное» неравенство. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.:)
Выяснить это можно, например, так:
А мы отмечаем все три корня на числовой прямой:
Точки из числителя закрашены, из знаменателя — выколоты
Получили два множества: один — обычный отрезок, а другой — открытый луч на числовой прямой.
Важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале. Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Можно брать миллиарды или даже «плюс-бесконечность» — в этом случае знак многочлена стоящего в скобке, числителе или знаменателе, определяется исключительно знаком старшего коэффициента.
В её записи присутствуют три многочлена:
Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны.:)
Мы очень скоро столкнёмся с такими задачами. Но сначала разберём альтернативный способ решения дробно-рациональных неравенств.
Альтернативный способ
Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом.
Итак, исходные данные те же. Нужно решить дробно-рациональное неравенство:
В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается: мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования ОДЗ прописать в виде отдельного неравенства? Например, так:
\[\frac
Давайте посмотрим, как это работает на реальных задачах.
Решение. Итак, переходим к методу интервалов:
\[\frac
Первое неравенство решается элементарно. Просто приравниваем каждую скобку к нулю:
Со вторым неравенством тоже всё просто:
\[x-11\ne 0\Rightarrow x\ne 11.\]
Правая точка оказалась выколотой дважды. Это нормально.
На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. А именно: никогда не раскрывайте скобки в неравенствах! Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем.
Теперь попробуем кое-что посложнее.
Переходим к методу интервалов:
\[\left\ < \begin
Переходим к уравнению:
Учитываем дополнительное требование:
Отмечаем все полученные корни на числовой прямой:
Если точка одновременно и выколота, и закрашена, она считается выколотой
Опять две точки «накладываются» друг на друга — это нормально, так будет всегда. Важно лишь понимать, что точка, отмеченная одновременно выколотой и закрашенной, на самом деле является выколотой. Т.е. «выкалывание» — более сильное действие, чем «закрашивание».
Это абсолютно логично, ведь выкалыванием мы отмечаем точки, которые влияют на знак функции, но сами не участвуют в ответе. И если в какой-то момент число перестаёт нас устраивать (например, не попадает в ОДЗ), мы вычёркиваем его из рассмотрения до самого конца задачи.
В общем, хватит философствовать. Расставляем знаки и закрашиваем те интервалы, которые отмечены знаком «минус»:
И снова хотел обратить ваше внимание вот на это уравнение:
\[\left( 2x-13 \right)\left( 12x-9 \right)\left( 15x+33 \right)=0\]
Ещё раз: никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях! Вы только усложните себе задачу. Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение просто «разваливается» на несколько более мелких, которые мы и решали в предыдущей задаче.
Учёт кратности корней
Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками.
Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими-то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки.
Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение:
Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке: там везде кратность равна единице.
И ещё. Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. А именно:
Здесь всё чётко: вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. А теперь:
\[\left( <
Мы получили два корня, но оба они имеют первую кратность. Или вот ещё:
И пусть вас не смущает десятая степень. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность.
В общем будьте внимательны: кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной.
Решение. Попробуем решить её альтернативным способом — через переход от частного к произведению:
Разбираемся с первым неравенством методом интервалов:
Дополнительно решаем второе неравенство. На самом деле мы уже решали его, но чтобы проверяющие не придрались к решению, лучше решить его ещё раз:
Отметим всё, что мы получили, на числовой прямой:
Осталось расставить знаки:
Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. И в следующей задаче мы столкнёмся с обратным «проявлением» этого эффекта. Готовы?
Решение. В этот раз пойдём по стандартной схеме. Приравниваем к нулю числитель:
Расставляем знаки и штрихуем области, отмеченные «плюсом»:
Перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку:
Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ.
Прежде чем мы пойдём дальше, хотелось бы ещё раз напомнить, что означает термин «решить неравенство» (любое — не обязательно дробно-рациональное). А означает он буквально следующее:
Определение. — значит найти множество всех его решений, либо доказать, что это множество пусто.
Казалось бы: что тут может быть непонятны? Да в том-то и дело, что множества можно задавать по-разному. Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче:
Читаем буквально, что написано. Переменная «икс» принадлежит некому множеству, которое получается объединением (значок «U») четырёх отдельных множеств:
Правило сложения кратностей
Ну и в заключение сегодняшнего урока немного жести от Павла Бердова.:)
Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом: а что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни? Так вот, работает следующее правило:
Кратности одинаковых корней складываются. Всегда. Даже если этот корень встречается и в числителе, и в знаменателе.
Иногда лучше решать, чем говорить. Поэтому решаем следующую задачу:
Решение. Приравниваем к нулю числитель:
Пока ничего особенного. Приравниваем к нулю знаменатель:
Обратите внимание: в обоих случаях мы оставили именно «выколотый» корень, а «закрашенный» выкинули из рассмотрения. Потому что ещё в начале урока договорились: если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой.
В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты:
Отмечаем их на числовой прямой с учётом кратности:
Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области:
Всё. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ.
Правило умножения кратностей
Иногда встречается ещё более неприятная ситуация: уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней.
Такое встречается редко, поэтому большинство учеников не имеют опыта решения подобных задач. А правило здесь следующее:
Другими словами, возведение в степень приводит к умножению кратностей на эту же степень. Рассмотрим это правило на примере:
Решение. Приравниваем к нулю числитель:
Со знаменателем тоже никаких проблем:
В сумме у нас получилось пять точек: две выколотых и три закрашенных. Совпадающих корней в числителе и знаменателе не наблюдается, поэтому просто отмечаем их на числовой прямой:
Расставляем знаки с учётом кратностей и закрашиваем интересующие нас интервалы:
Снова одна изолированная точка и одна выколотая
Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.
Предварительные преобразования
Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю.
Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. Потому что нет никакого смысла зубрить методы решения неравенств, если вы «плаваете» в преобразовании дробей.
В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств.
Решение. Переносим всё влево:
Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые в числителе:
Теперь перед нами классическое дробно-рациональное неравенство, решение которого уже не представляет трудности. Предлагаю решить его альтернативным методом — через метод интервалов:
Не забываем ограничение, пришедшее из знаменателя:
\[x\left( x-1 \right)\ne 0\Rightarrow x\ne 0;x\ne 1\]
Отмечаем все числа и ограничения на числовой прямой:
Все корни имеют первую кратность. Никаких проблем. Просто расставляем знаки и закрашиваем нужные нам области:
Это всё. Можно записывать ответ.
Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее. И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.
Решение. Переносим всё влево:
Перед тем как приводить обе дроби к общему знаменателю, разложим эти знаменатели на множители. Вдруг вылезут одинаковы скобки? С первым знаменателем легко:
\[<
Со вторым чуть сложнее. Не стесняйтесь вносить множитель-константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Помните: исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален).
\[\begin
Дальше легко. Приравниваем к нулю числитель.
Приравниваем к нулю знаменатель:
Никаких кратностей и совпадающих корней. Отмечаем четыре числа на прямой:
Всё! Лайк тому, то дочитал до этой строчки.:)