Как решать доказательство неравенств

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Если x>-1, n — действительное число:

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

0,2\sqrt > 0,2\sqrt > 0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Источник

math4school.ru

Доказательство неравенств

Немного теории

Редкая олимпиада обходится без задач, в которых требуется доказать некоторое неравенство. Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если a – b > 0, то a > b; если a – b

2) если a > b, то b a;

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 – 4ac

3) x + 1 /_x > 2, при х > 0, и x + 1 /_x –2, при х

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) если a > b > 0, то 1 /_a 1 /_b;

a 2 > b 2 и n √ a > n √ b ;

7) если a > b > 0 и х x x ;

8) если х > 0, то sin x

Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

К наиболее «популярным» методам доказательства неравенств можно отнести:

Задачи с решениями

1. Доказать неравенство:

а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);

б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 при x > 0, y > 0.

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

б) Доказываемое неравенство после умножения обеих частей на 2 принимает вид

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

(a 2 – 2ab + b 2 ) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

что очевидно. Равенство имеет место лишь при a = b = 1.

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5 ) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) ( x 4 – y 4 ) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2 ) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2 ) > 0.

2. Доказать неравенство:

в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, где a > 0, b > 0, c > 0.

б ) Доказательство данного неравенства элементарно следует из следующей оценки:

Равенство достигается для равностороннего треугольника.

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) =

так как сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

3. Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

Из условия, что a + b = 1, следует, что

Сложим это равенство с очевидным неравенством

2a 2 + 2b 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

8a 4 + 8b 4 > 1, откуда 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

е – π · ln е = е – π > π – π · ln π

Отсюда получаем, что

Используя свойства логарифмов, нетрудно свести данное неравенство к равносильному неравенству:

после почленного умножения которых, непосредственно получаем, что (n + 1) n > n!.

2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =

= 2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013 2 · (2014 2 – 1) 2013

Очевидно, так же можно получить общее утверждение: для любого натурального n выполняется неравенство

7. Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

Оценим левую часть неравенства:

что и требовалось доказать.

Пусть наибольшее из этих чисел равно m. Тогда

так как в правую часть добавлены множители, меньшие 1. Вычислим правую часть, разложив каждую скобку на множители:

Раскрыв в левой части скобки, получим сумму

Методом математической индукции докажем, что для всех натуральных n верно неравенство:

В силу принципа математической индукции неравенство доказано.

10. Доказать неравенство Бернулли:

Воспользуемся методом математической индукции.

При n = 1 получаем истинное неравенство:

Предположим, что имеет место неравенство:

Покажем, что тогда имеет место и

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

Действительно, поскольку α > –1 влечет α + 1 > 0, то умножая обе части неравенства

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

Поскольку nα 2 ≥ 0, следовательно,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

Таким образом, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

Задачи без решений

1. Доказать неравенство для положительных значений переменных

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. Доказать, что при любом a имеет место неравенство

3. Доказать, что многочлен x 12 – x 9 + x 4 – x + 1 при всех значениях x положителен.

Источник