Как решать через замену

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Источник

«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.

– повторить известные способы решения показательных уравнений;

– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;

– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;

– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;

– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;

– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;

– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

– формировать грамотную математическую речь;

– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.

Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.

Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.

Запишите тему урока: “Решение показательных уравнений”, но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.

2. Актуализация знаний.

Устная работа с классом.

1) =32;	5) = – 25;
2) =81;	6) ;
3) =;	7) =;
4) =27;	8) .

3. Постановка проблемы.

Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду или . Последнее уравнение решить таким способом не удается.

Обратите внимание: . Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = и решить полученное квадратное уравнение.

Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.

Уточним тему урока: “Решение показательных уравнений с помощью замены переменных”.

4. Изучение нового материала.

Пусть у = , причем у > 0.

Уравнение примет вид .

Решим это уравнение: = –1; = 5.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 5; х = 1.

Решим уравнение .

Перепишем его в виде .

Далее решает ученик у доски с комментированием.

Пусть , причем у > 0.

3у – 8 = ; 3– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;

Решим это уравнение: = –; = 3.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 3; х = 1.

Решим уравнение .

Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на : .

Далее решает у доски ученик с комментированием.

Пусть у =, причем у > 0.

Уравнение примет вид .

.

Решим это уравнение: = 1; =.

= 1; х = 0. = ; х = 1.

Можно было делить на ? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =.

5. Первичное закрепление изученного материала.

Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.

Два ученика работают за крыльями доски.

. Перепишем в виде . Пусть , причем у > 0. у += 12; + 27 = 12у; – 12у +27 = 0. Решим это уравнение: = 3; = 9. = 3; х = 1. = 9; х = 2. Ответ: 1; 2.

Разделим обе части уравнения на : . Пусть у =, причем у > 0. Уравнение примет вид . Решим это уравнение: = – 1; =. не удовлетворяет условию у > 0. = ; = ; = 2; х = . Ответ: .

6. Самостоятельная работа.

Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.

1) ;

2) ;

3) .

По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.

Источник

Замена переменных в уравнениях (ЕГЭ 2022)

Метод замены переменных… Что это за зверь?

Это хитрый способ сначала сделать сложное уравнение простым (с помощью замены переменных) и потом быстро с ним разделаться.

Есть три способа замены переменной.

Читай эту статью — ты все поймешь!

Замена переменных — коротко о главном

Определение:

Замена переменных – метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Виды замены переменной:

Степенная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень: \( \displaystyle t=<^>\).

Дробно-рациональная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную: \( \displaystyle t=\frac<<

_>\left( x \right)><<_>\left( x \right)>\), где \( \displaystyle <

_>\left( x \right)\) и \( \displaystyle <_>\left( x \right)

\) – многочлены степеней n и m, соответственно.

Замена многочлена: за \( \displaystyle t\) принимается целое выражение, содержащее неизвестное: \( \displaystyle t=<

_>\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt<<

_>\left( x \right)>\), где \( \displaystyle <

_>\left( x \right)

\) – многочлен степени \( \displaystyle n\).

Обратная замена:

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Степенная замена \( \displaystyle y=<^>\)

Решение примера №1

Допустим, у нас есть выражение: \( \displaystyle <^<4>>-5<^<2>>-36=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную \( \displaystyle t=<^<2>>\).

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной \( \displaystyle x\) не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – \( \displaystyle t\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle <^<2>>-5t-36=0\) – обычное квадратное уравнение

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной \( \displaystyle x\), а мы нашли только \( \displaystyle t\).

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену — вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle <^<2>>\).

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При \( \displaystyle <^<2>>=9\) у нас будет два корня:

\( \displaystyle <_<1>>=3\) \( \displaystyle <_<2>>=-3\)

А что у нас будет при \( \displaystyle <^<2>>=-4\)?

Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при \( \displaystyle <^<2>>=-4\) у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть \( \displaystyle x\), которые существуют:

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:

Решение примера №2

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении \( \displaystyle 3<^<6>>-7<^<3>>+2=0\).

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную \( \displaystyle t=<^<3>>\).

Наше выражение приобретет вид:

\( \displaystyle 3<^<2>>-7t+2=0\) – обычное квадратное уравнение

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену: вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle <^<3>>\)

Оба значения \( \displaystyle <^<3>>\) имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При \( \displaystyle <^<3>>=2\Rightarrow x=\sqrt[3]<2>\)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]<2>;\sqrt[3]<\frac<1><3>>\)

Степенная замена в общем виде

Например, с помощью замены \( \displaystyle t=<^<2>>\) биквадратное уравнение \( \displaystyle a<^<4>>+b<^<2>>+c=0,\text< >a\ne 0\) приводится к квадратному: \( \displaystyle a<^<2>>+bt+c=0\).

В неравенствах все аналогично.

Например, в неравенстве \( \displaystyle a<^<6>>+b<^<3>>+c\ge \text<0>\) сделаем замену \( \displaystyle t=<^<3>>\), и получим квадратное неравенство: \( \displaystyle a<^<2>>+bt+c\ge \text<0>\).

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена – \( \displaystyle y=\frac<<

_>\left( x \right)><<_>\left( x \right)>,

\) многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения \( \displaystyle <_>\left( x \right)\ne 0\) (так как на ноль делить нельзя).

Решение примера №3

Допустим, у нас есть уравнение:

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: \( \displaystyle x\ne 0\)

Введем новую переменную \( \displaystyle t\).

Пусть \( \displaystyle t=x+\frac<3>\), тогда

Сравни, что дает возведение \( \displaystyle t\) в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых.

Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной \( \displaystyle t\).

\( \displaystyle 2\cdot \frac<3><>=6\)

В итоге мы получаем следующее выражение:

\( \displaystyle <^<2>>-6-t-14=0\) – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

Как мы помним \( t\), не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

Приводя к общему знаменателю \( \displaystyle x\), мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

Решим первое квадратное уравнение:

На этой стадии не забываем про ОДЗ.

Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ: \( \displaystyle \frac<5+\sqrt<13>><2>;\text< >\!\!

У тебя получился такой же?

Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

Решение пример №4

Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Сравним ход решения:

Пусть \( \displaystyle t=\frac<1><<<\left( -2 \right)>^<2>>>\), тогда выражение приобретает вид:

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

Не забываем про ОДЗ — \( \displaystyle t\ne 0\).

Решаем квадратное уравнение:

Как ты помнишь, \( \displaystyle t\) не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

Решим первое уравнение:

Решением первого уравнения являются корни \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).

Решим второе уравнение:

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! \( \displaystyle \frac<1><<<\left( -2 \right)>^<2>>>=-\frac<1><5>\) – число положительное, \( \displaystyle <<\left( -2 \right)>^<2>>\) — тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ: \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3\)

Дробно-рациональная замена в общем виде

\( \displaystyle <

_>\left( x \right)\) и \( \displaystyle <_>\left( x \right)\) − многочлены степеней \( \displaystyle n\) и \( \displaystyle m\) соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

обычно используется замена \( \displaystyle t=x+\frac<1>\).

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что \( \displaystyle x=0\) не является корнем этого уравнения: ведь если подставить \( \displaystyle x=0\) в уравнение, получим \( \displaystyle a=0\), что противоречит условию.

Разделим уравнение на \( \displaystyle <^<2>>\ne 0\):

Теперь делаем замену: \( \displaystyle t=x+\frac<1>\).

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

Вернемся к нашему уравнению:

\( \displaystyle \begina\left( <^<2>>+\frac<1><<^<2>>> \right)+b\left( x+\frac<1> \right)+c=0\text< >\Leftrightarrow \text< >a\left( <^<2>>-2 \right)+bt+c=0\text< >\Leftrightarrow \\a<^<2>>+bt+c-2a=0\end\)

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Замена многочлена

Замена многочлена \( \displaystyle y=<

_>\left( x \right)\) или \( \displaystyle y=\sqrt<<

_>\left( x \right)>\).

Здесь \( \displaystyle <

_>\left( x \right)

\) — многочлена степени \( \displaystyle n\), например, выражение \( \displaystyle 12<^<3>>+2<^<2>>-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 3\).

Решение примера №4

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за \( \displaystyle t\)?

Уравнение приобретает вид:

Производим обратную замену переменных:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

\( \displaystyle <<>^<2>>-4+8=0\) \( \displaystyle \text=<<>^<2>>-4\) \( \displaystyle \text=16-4\cdot 8=16-32=-16\)

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За \( \displaystyle t\) нужно взять \( \displaystyle 2<<>^<2>>-9+5\).

Мы получаем выражение:

\( \displaystyle \text\cdot \left( \text+1 \right)=2\)

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3,5\)

Решением второго квадратного уравнения — числа \( \displaystyle 0,5\) и \( \displaystyle 4\).

Ответ: \( \displaystyle 0,5\); \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3,5\); \( \displaystyle 4\)

Замена многочлена в общем виде

\( \displaystyle t=<

_>\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt<<

_>\left( x \right)>\).

Здесь \( \displaystyle <

_>\left( x \right)\) − многочлен степени \( \displaystyle n\), т.е. выражение вида

(например, выражение \( \displaystyle 4<^<4>>+2<^<3>>-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 4\), то есть \( \displaystyle <

_<4>>\left( x \right)\)).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: \( \displaystyle t=a<^<2>>+bx+c\) или \( \displaystyle t=\sqrt^<2>>+bx+c>\).

Подведем итоги

Метод замены переменной имеет \( \displaystyle 3\) основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

Степенная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

Замена многочлена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

Дробно-рациональная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной

Разбор 3 примеров на замену переменных

Пример 7. \( \displaystyle \left( <<>^<2>>-4+7 \right)\left( <<>^<2>>-4+6 \right)=12\)

Решение примера №6

Пусть \( \displaystyle \text=<<>^<3>>\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle <^<2>>+7\text-8=0\).

Так как \( \displaystyle \text=<<>^<3>>\), то может быть как положительным, так и отрицательным.

Решение примера №7

Пусть \( \displaystyle \text=<<>^<2>>-4+7\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle \text\cdot \left( \text-1 \right)=12\).

\( \displaystyle <<\text>_<2>>=-3\Rightarrow \) решения нет, так как \( \displaystyle D

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение \( \displaystyle 6\) степени, поэтому применяется замена переменных.

Все станет намного проще после замены: \( \displaystyle t=<^<3>>\). Тогда \( \displaystyle <^<6>>=<^<2>>\):

Теперь делаем обратную замену:

Ответ: \( \displaystyle \sqrt[3]<3>\); \( \displaystyle \sqrt[3]<4>\).

Решение примера 10 (замена многочлена)

Решите уравнение \( \displaystyle \left( <^<2>>+5x+9 \right)\left( <^<2>>+5x+10 \right)=12\).

Решение:

И опять используется замена переменных \( \displaystyle t=<^<2>>+5x+9\). Тогда уравнение примет вид:

\( \displaystyle t\cdot \left( t+1 \right)=12\text< >\Rightarrow \text< ><^<2>>+t-12=0\).

Корни этого квадратного уравнения: \( \displaystyle t=-4\) и \( \displaystyle t=3\). Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

\( \displaystyle t=-4\text< >\Rightarrow \text< ><^<2>>+5x+9=-4\text< >\Rightarrow \text< ><^<2>>+5x+13=0\);

\( \displaystyle D=<<5>^<2>>-4\cdot 13=-17

\( \displaystyle y 0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48 0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31 0\)

Источник