Как решать большие степени
Об уравнениях высших степеней
Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.
Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:
В этой статье я рассмотрю:
1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.
Кубические уравнения
Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:
Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:
В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.
Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.
Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.
Возвратные кубические уравнения
Возвратные кубические уравнения имеют вид:
Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:
Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.
Теорема Безу и схема Горнера
Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:
Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.
Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.
Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:
И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:
(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:
Возвратные биквадратные уравнения
Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:
В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:
Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.
А теперь перейдём к примеру:
Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).
Область применения
В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.
«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Оборудование: компьютер, проектор.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы
Уравнение 
одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.
В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.
А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.
1) Решение линейного уравнения.
Линейным называется уравнение вида 
, где 
по определению. Такое уравнение имеет единственный корень 
.
2) Решение квадратного уравнения.
Квадратным называется уравнение вида 
, где 
. Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения 
. Для 
уравнение корней не имеет, для 
имеет один корень (два одинаковых корня)
, для 
имеет два различных корня 
.
Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение 
-й степени 
имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).
Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена 
на множители или с использованием замены переменной.
3) Решение кубического уравнения.
Решим кубическое уравнение 
Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:
Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: 
; 
;
.
4) Решение биквадратного уравнения.
Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид 
(т.е. уравнения, квадратные относительно 
). Для их решения вводят новую переменную 
.
Решим биквадратное уравнение 
.
Введём новую переменную и получим квадратное уравнение 
, корнями которого являются числа 
и 4.
Вернёмся к старой переменной 
и получим два простейших квадратных уравнения:
(корни и 
)
(корни 
и 
)
Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:
; ;
.
Попробуем решить уравнение 
используя выше изложенные приёмы.
4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида 
, где 
многочлен n-й степени
Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :
1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.
2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.
4) Если число 
является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения 
, где 
многочлен (
-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен 
. Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).
5) Если уравнение 
со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член 
) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена 
. Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).
Пример 1. Решим уравнение 
.
Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
Итак, данное уравнение имеет три корня:
Пример 2. Решим уравнение 
.
Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: 
;
. Проверим:
Значит, многочлен 
можно представить в виде произведения 
, т.е. многочлен 
можно без остатка разделить на двучлен 
. Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:
Аналогичным образом поступим и с многочленом 
.
Если это уравнение 
имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:
Значит, многочлен можно представить в виде
произведения 
, т.е. многочлен 
можно без остатка разделить на двучлен 
. Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
6 этап работы. Закрепление изученного материала.
Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.
7 этап работы. Вывод урока.
8 этап работы. Домашнее задание.
Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).
Уравнения высших степеней
Вид уравнений высших степеней
Уравнения высших степеней имеют вид:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(a_0\) является старшим коэффициентом, который никогда не равен 0.
\(a_n \) — свободный член.
В таких уравнениях степень больше 2.
Чтобы решить уравнение высшей степени надо найти его корни, или обнаружить, что их нет. Корни представляют собой все значения переменной х, которые приводят многочлен к нулю или верному равенству.
Виды уравнений высших степеней:
На сегодняшний день в математике нет общих формул, которые бы подходили для решения уравнений высших степеней разных видов. Существуют различные системы для решения разных видов таких уравнений.
Методы решения уравнений высших степеней подразделяются на: стандартные и специальные.
Теорема Виета
Теорема Виета применяется для решения приведенных квадратных уравнений.
Первый коэффициент в таких уравнениях равен единице.
Правило теоремы Виета: Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни приведенного квадратного уравнения \( x^2+px+q=0,\) то
Чтобы решить уравнения высших степеней по данной системе, их сначала приводят к квадратным уравнениям.
Теорема Безу
Теорема Безу — остаток при делении многочлена \(Р(х)\) на линейный многочлен \(х-α\) будет равен \(Р(α):\)
Пусть \(α\) — корень уравнения \(Р(х)=0.\)
Тогда при замене вместо х на α, получим
Это означает, что остаток при делении \( Р(х)\) на \(х-α\) :
Таким образом, данный метод решения уравнения высших степеней предполагает, что мы подбираем корень α.
В соответствии с теоремой Безу, остаток \(q\) при делении многочлена на \(х-α\) будет равен нулю, и мы получим уравнение уже на порядок ниже.
То есть, если корень подходит, то деление будет осуществляться нацело.
Как подобрать корень
Правило 1
Если \(a_0=1, \) \(a_i\in Z, \forall i.\)
Такое уравнение называется приведенным, когда старшая степень входит с коэффициентом, равным единице. Если уравнение приведенное, и \(α\) — целый корень, то \(α\) содержится в множестве делителей свободного члена:
Корень уравнения находится среди делителей свободного члена \(a_n.\)
Правило 2
В этом случае необязательно, что корень будет лежать среди делителей свободного члена. Корень может быть нецелым. Если α рациональна, то корень содержится среди дробей вида, где в числителе стоят делители свободного члена, а в знаменателе стоят делители старшего коэффициента:
Схема Горнера
По данной схеме корень уравнения находят через делители свободного члена. Метод заключается в составлении таблицы, в которой отображаются в верхней строке все коэффициенты уравнения. А в первый столбик заносятся потенциальные варианты решения, то есть делители свободного члена.
Принцип заполнения таблицы:
Такая таблица позволяет не только проверять, является ли число корнем этого уравнения, но и параллельно осуществляет деление.
Метод Феррари для уравнений 4-ой степени
Метод Феррари позволяет решить уравнения четвертой степени через их приведение к кубическому виду. Далее они решаются по формуле Кардано. То есть используется алгоритм решения кубических уравнений.
Находят \(y_0\) — любой из корней кубического уравнения:
Затем решают два квадратных уравнения:
Полный квадрат является подкоренным выражением.
Корни этих уравнений являются корнями исходного уравнения четвертой степени.
Примеры применения способов на практике
Решение заданий с помощью теоремы Безу
Рассмотрим два многочлена:
В нашем примере число \(α = 1.\)
Тогда многочлен примет вид:
Решение заданий при помощи схемы Горнера
Сначала выписываем делители свободного члена:
В первый столбец запишем единицу. Она просто носится по строкам.
Чтобы записать ответ во второй строке третьего столбца, умножим единицу на минус единицу и прибавим минус 4: