Как решать алгебраические выражения

Алгебра. Урок 3. Вычисления и алгебраические выражения

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Преобразования и вычисления

Свойства степеней:

(3) ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n

(4) ( a b ) n = a n b n

Свойства квадратного корня:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(4) a 2 = | a | при любом a

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m – целое число ( ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 … ), n – натуральное ( ℕ = 1, 2, 3, 4 … ).

Примеры рациональных чисел:

1 2 ; − 9 4 ; 0,3333 … = 1 3 ; 8 ; − 1236.

Примеры иррациональных чисел:

Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

(1) ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

( 3 x + 4 y ) 2 = ( 3 x ) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + ( 4 y ) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

(2) ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

( 5 x − 2 y ) 2 = ( 5 x ) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + ( 2 y ) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Сумма квадратов не раскладывается на множители

(3) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b )

25 x 2 − 4 y 2 = ( 5 x ) 2 − ( 2 y ) 2 = ( 5 x − 2 y ) ( 5 x + 2 y )

(4) ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

( x + 3 y ) 3 = ( x ) 3 + 3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ ( 3 y ) + 3 ⋅ ( x ) ⋅ ( 3 y ) 2 + ( 3 y ) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

(5) ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

( x 2 − 2 y ) 3 = ( x 2 ) 3 − 3 ⋅ ( x 2 ) 2 ⋅ ( 2 y ) + 3 ⋅ ( x 2 ) ⋅ ( 2 y ) 2 − ( 2 y ) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

(6) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 )

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = ( 2 + x ) ( 2 2 − 2 ⋅ x + x 2 ) = ( x + 2 ) ( 4 − 2 x + x 2 )

(7) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 )

x 6 − 27 y 3 = ( x 2 ) 3 − ( 3 y ) 3 = ( x 2 − 3 y ) ( ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) ( 3 y ) + ( 3 y ) 2 ) = ( x 2 − 3 y ) ( x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2 )

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

Задание №8 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Источник

6.4.1. Алгебраическое выражение

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

Решение. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n. Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Источник

Математические термины

Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.

Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a 2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.

Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.

На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.

Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.

Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».

Виды выражений

В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:

Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.

В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.

Выражения в алгебре могут быть следующих видов:

Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x 2 — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.

Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.

Алгебраические действия

Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.

Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.

На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:

Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.

Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.

Применение преобразований

Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.

При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)).

Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:

a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b) = a 3 b — b 3 c — a 3 c + b 3 c + c 3 (a — b) = ab (a 2 — b 2 ) = ab (a 2 — b 2 ) — c (a 3 — b 3 ) + c 3 (a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a 2 + ab + b 2 ) + c 3 = (a — b) (a 2 b — a 2 c + ab 2 — abc + c 3 — cb 2 ) = (a — b) (a 2 (b — c) + ab (b — c) — c (b 2 — c 2 ) = (a — b) (b — c) (a 2 — c 2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).

По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.

В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2) 2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.

Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.

Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с 2 + 2b 2 + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a 2 + 2b 2 = 11, ab = 3.

При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.

Источник

Алгебраические выражения

Содержание:

Алгебраические выражения. Основные понятия

Алгебраические выражения — это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), связанных между собой знаками арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности применения этих операций (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение, должно быть конечным.

Виды алгебраических выражений

Из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок составляют алгебраические выражения.

Примеры алгебраических выражений:

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то его называют целым выражением. Из написанных выше целыми являются выражения 1), 2) и 6).

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением. Так, из написанных выше дробными являются выражения 3) и 4).

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Так, из написанных выше рациональными являются выражения 1), 2), 3), 4) и 6).

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то его называют иррациональным выражением. Так, из написанных выше иррациональными являются выражения 5) и 7).

Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, разделяются на целые и дробные.

Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных — ОДЗ).

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Так, при любых значениях переменных имеют смысл целые выражения 1), 2), 6) из п. 48.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Так, дробное выражение 3) из п. 48 имеет смысл при всех , кроме = 1, а дробное выражение 4) имеет смысл при всех кроме значений

Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональное выражение 5) имеет смысл только при тех при которых а иррациональное выражение 7) имеет смысл только при (см. п. 48).

Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называют значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

Пример:

Найти значение выражения

Решение:

Имеем

Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество

Рассмотрим два выражения

При х = 2 имеем Числа 0 и 3 называют соответственными значениями выражений при х = 2. Найдем соответственные значения тех же выражений при х = 1:

Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном примере выполняется равенство), а могут и отличаться друг от друга (так, в рассмотренном примере ).

Если соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то выражения называют тождественно равными.

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Так, тождественно равны выражения

Пропорция (см. п. 30) есть тождество при всех значениях , кроме = 1, поскольку при = 1 знаменатели дробей обращаются в нуль, т. е. дроби не будут иметь смысла.

Замена выражения выражением (сократили на с) есть тождественное преобразование выражения при ограничениях Значит, = — тождество при всех значениях переменных, кроме Ь = 0, с = 0. Верные числовые равенства также называют тождествами.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник