Как решается степенная функция
Степенная функция ее свойства и график
Степенная функция ее свойства и график
Степенная функция вида
ПРИМЕР 1: Изобразить схематически график функции и найти его область определения и множество значений:
ПРИМЕР 2: Выяснить, какая из функций: или – является возрастающей на отрезке [2; 3].
Задания для самостоятельного решения
Изобразить схематически график функции и найти его область определения и множество значений:
Выяснить возрастает или убывает функция на отрезке [1; 2]:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-671335
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Свойства степенных функций, построение графиков
Степенная функция — что это такое
К степенным функциям в теории относятся следующие виды:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).
Далее следует записать таблицу значений:
Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:
Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:
Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае \(0 :
Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:
При использовании k
При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.
Квадратичная функция \(y = ax2 + bx + c\) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:
Функция \(y = x^<3>\) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции \( y = x^<4>\) и \(y = x^<5>.\)
Можно отметить, что функции \(y = x^<2>\) и \(y = x^<4>\) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.
Функция \(y = f(x)\) является четной, когда:
Графики функций \(y = x^<3>\) и \(y = x^<5>\) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.
Функция \(y = f(x)\) – нечетная, при условии, что:
То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.
Виды и их свойства, область определения
Степенные функции обладают рядом специфических свойств, которые могут отличаться в зависимости от их вида. Рассмотрим основные из них.
График имеет следующий вид:
В том случае, когда x>0, а r – какое-либо рациональное число, производная степенной функции \(y=x^r\) определяется, согласно формуле:
Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
Степень действительного числа a, обладающего рациональным показателем n вычисляется, согласно уравнению:
Функция \( f(x)=x^
Функция \(f(x)=x^
Как строить графики степенных функций
График функции является множеством точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты – соответствующими значениями функции y.
Согласно определению, построить график какой-либо функции можно путем поиска всех пар соответствующих значений аргумента и функции. Как правило, в результате получается бесконечное множество точек, что затрудняет процесс построения графика. В связи с этим требуется исследовать функцию:
Задачи со степенной функцией
Необходимо определить максимальное и минимальное значения для функции \(y=x^<\frac<5><2>>\) на отрезке:
Показатель степени рассматриваемой функции обладает положительным значением. В этом случае, учитывая свойства записанной функции, можно заключить, что она возрастает на всей области определения. Таким образом, функция достигает своего максимума и минимума на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).
На промежутке (2,10) максимальное и минимальное значения функции отсутствуют, в связи с тем, что промежуток является открытым, и точки 0 и 4 к данному интервалу не относятся.
На луче [9;+∞) наибольшее значение отсутствует
Требуется определить максимальное и минимальное значение на отрезке [1;9] для функции:
Вычислим производную рассматриваемой функции:
Так как производная существует на всей области определения исходной функции, можно заключить, что критические точки отсутствуют.
Далее определим стационарные точки:
Заданному отрезку принадлежит только одно решение \(x_2=4\)
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
График функции \(y=x^<\frac<4><3>>\) будет возрастать, а график функции \(у=24-х\) – убывать. Известно, что когда одна функция возрастает, а вторая убывает, то будет лишь одна точка, в которой эти функции пересекаются. Следовательно, уравнение обладает всего одним решением. Можно заметить, что:
Таким образом, при х=8 уравнение преобразуется в справедливое равенство: 16=16, что является ответом к задаче.
Необходимо построить график функции с объяснениями: \(y=(x-3)^\frac<3><4>+2\)
График рассматриваемой функции можно получить из графика функции:
Требуется сместить этот график на 3 единицы в правую сторону и на 2 единицы вверх:
Требуется записать уравнение для касательной к прямой \(y=x^<-\frac<4><5>>\) в точке х=1.
Обозначение уравнения касательной:
По условию задачи число a является натуральным числом 1, поэтому:
Степенная функция
Вы будете перенаправлены на Автор24
Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Свойства степенной функции с натуральным четным показателем
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
Готовые работы на аналогичную тему
Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем
Функция возрастает на всей области определения.
\[2\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\cdot x^<2n-3>=0\] \[x=0\]
Степенная функция с целым показателем
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
$f\left(x\right)=x^r$ ($r\in Q)$ называется степенной функцией с рациональным показателем.
$f\left(x\right)=x^r$ ($r\in J)$ называется степенной функцией с иррациональным показателем.
Приведем графики степенных функций с рациональным и иррациональным показателем (рис. 5). Рассмотреть, аналогично, свойства этих функции оставим читателю.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 03 2021
Степенные функции, их свойства и графики
Урок 6. Алгебра 11 класc
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Степенные функции, их свойства и графики»
· рассмотреть степенные функции;
· рассмотреть свойства и графики степенных функций, в зависимости от основания.
Степенными функциями называют функции вида:
Случаи, когда r – натуральное или целое число мы с вами уже изучали.
Давайте повторим основные моменты.
Сегодня на уроке мы познакомимся с функцией:
Для начала рассмотрим случай, когда показатель степени больше 0. Этот случай можно разбить ещё на два: когда показатель степени находится в (0; 1) и когда показатель степени больше 1.
Первым рассмотрим случай, когда показатель степени находится в промежутке (0; 1).
Рассмотрим частный случай такой степенной функции:
Как выглядит график этой функции, мы знаем.
Точно так же будут выглядеть графики любой степенной функции вида:
По графику мы очень просто можем записать основные свойства таких функций.
Областью определения будет являться луч [0; +∞).
Областью значения является промежуток [0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция возрастает на всей области определения.
Она не ограничена сверху, но ограничена снизу.
Наименьшее значение равно 0, а наибольшего значения нет.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вверх на всей области определения.
Теперь рассмотрим степенную функцию, показатель которой – любое рациональное число больше единицы.
Графиком функции будет ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1), причём чем больше показатель, тем круче будет идти график.
Запишем основные свойства функции.
Областью определения является луч [0; +∞).
Область значений – это промежуток (0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция возрастает на всей области определения.
Функции не ограничена сверху, но ограничена снизу.
Наименьшим значением будет 0, наибольшего значения нет.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вниз на всей области определения.
Теперь рассмотрим функцию:
График имеет горизонтальную асимптоту игрек равно нулю и вертикальную асимптоту икс равно нулю.
Запишем основные свойства функции.
Областью определения будет промежуток (0; +∞).
Областью значения будет промежуток (0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция убывает на всей области определения.
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Функция не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вниз на всей области определения.
Обратите внимание, что при рассмотрении функций мы нигде не проверяли функцию на дифференцируемость. Прежде чем говорить о дифференцируемости давайте посмотрим, как находится производная таких функций.
Производную функции игрек равно x в натуральной степени эн мы знаем, это табличное значение.
Эти две формулы можно объединить в одну:
Ещё одним табличным значением является производная функции:
Эту формулу можно записать следующим образом:
Если x > 0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле:
Поскольку производные данных функции существуют на всей области определения, то в свойства можно дописать, что функции дифференцируемы на всей области определения.
Рассмотрим несколько примеров.
Давайте повторим ещё раз основные свойства и графики функций.
Функция. Степенная функция.
Так как нулевая степень всякого числа, не равного нулю, равна единице, то при n = 0 степенная функция становится постоянной величиной, т.е. у = а. Поясним подробнее: выражение ноль в нулевой степени неопределенно, в том случае, когда функция у = ax 0 для всех значений х, естественно кроме нуля, равна а, и следовательно, если х = 0, то у = а. В таком случае график представлен прямой линией, параллельной оси абсцисс).
Остальные случаи делятся на группы:
Видны графики функции у = х n при n = 0,1; 1/4; 1/3; 1/2; 2/3; 1;3/2; 2 ; 3; 4; 10. Все они проходят через начало координат и точку (1; 1).
При n = 1 получаем прямую являющуюся биссектрисой угла х0у.
При n > 1 график образуется сначала между х = 0 и х = 1, несколько ниже этой прямой, а затем при х > 1, выше ее.
По аналогии с графиком функции у = ах 2 графики всех степенных функций у = ах n при положительном n называют параболами n-го порядка или n-й степени. Так, график функции у = ах 3 называется параболой 3-го порядка или кубической параболой.
В случае если n дробное число p/q с четным знаменателем q и нечетным числителем р, то величина 
может иметь два знака 
, а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х, причем она симметрична верхней части.
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у, не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.