Линейные неравенства – такие неравенства, которые можно привести к одному из видов:
Примеры не линейных неравенств:
Решение линейных неравенств
Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.
При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).
Запишем ответ в виде интервала
Особый случай №1: решение неравенства – любое число
В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.
\(6x-3+5 x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.
Сократим то, что можно сократить
Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые
Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки
Вновь приводим подобные слагаемые
Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
Неравенство
Графическое решение
Форма записи ответа
x c
Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
Квадратные неравенства
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№5. Решить неравенство x 2 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Графическая интерпретация решения:
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов.
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Неравенство примет вид:
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Впервые с понятием линейное неравенство школьники сталкиваются на уроках алгебры в восьмом классе. Неравенства линейного вида тесно связаны с функциями, графиком которых является прямая линия. Применительно это к выражениям, в которых существует одна вещественная переменная. Для функции c одной переменной справедлива запись: f = dx + b. Если последний член равенства равен нулю, то такую функцию называют однородной, в ином же случае — неоднородной.
В математике принято под неравенством понимать отношение, при котором можно использовать один из следующих двух знаков:
Вместе с двумя основными знаками может использоваться и равенство. Таким образом, в математике неравенства разделяют на строгие (без знака равно) и нестрогие.
Если одна и та же переменная входит в различные выражения, то их можно связать между собой в систему. Для линейного неравенства с одной переменной присущ одна особенность. Неизвестная в нём не может стоять в степени отличной от единицы или на неё делиться другое число. Иными словами, график выражений со второй, кубической, квадратической и другой степенью будет иметь вид отличный от прямой.
Совокупность таких уравнений является равносильной. Поэтому при решении часто используется подход замены сложных выражений простыми. Известными членами в уравнении могут быть рациональные, иррациональные и логарифмические числа. Для записи ответа используется как цифровое, так и графическое обозначение.
На рисунке уравнение представляется как полуплоскость. В случае строгого неравенства непосредственно прямая не входит в ответ. Для определения, какая же полуплоскость соответствует множеству решений, определяют значение в произвольной точке и проверяют, удовлетворяет ли число знаку неравенства.
Принцип решения
Алгоритм решения линейных неравенств базируется на их свойствах и нескольких правилах. Под решением неравенства понимают нахождение множества значений переменных, подстановка которых в уравнение превращает его в верное числовое выражение.
При нахождении неизвестных в уравнении используют пять свойств числовых неравенств:
Исходя из указанных свойств делают выводы, что слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую изменив при этом знак на противоположный. При умножении или делении обеих частей выражения на одно и то же значение знак неравенства не изменяется. Это утверждение также справедливо к другим арифметическим действиям с любым видом чисел. Следует заметить, что если обе стороны умножаются на число с отрицательным знаком, то знак неравенства меняется на противоположный.
Касательно систем действует правило, заключающееся в том, что если в совокупности нет уравнений, которые можно сократить, то в этом случае удалить уравнения без изменения решений не выйдет. Так как решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых оно будет верным, то множество всех таких решений состоит из эквивалентных корней.
Для решения же линейного уравнения с двумя переменными необходимо найти пару значений неизвестных по оси абсцисс и ординат, обращающую его в верное числовое выражение. Поэтому ответ в таких выражениях изображают в виде графика с указанием области искомого множества. При этом решение системы с двумя и более переменными находят по области пересечения каждого уравнения.
Простой пример
Решение линейных неравенств построено на чётком порядке действий. Самый простой способ — это использование метода тождественных преобразований. По сути, это сведение задания непосредственно к ответу. Например, пусть дано неравенство: p + 3 > 5*p — 5. Для его решения нужно выполнить следующую последовательность шагов:
По аналогии решаются задания с синусом, котангенсом и тангенсом. При нахождении ответа подробный анализ выполнять необязательно. Необходимо просто использовать простейшие тригонометрические формулы. Так для sin c > 1/ 2, будет верным решение с Є (p /6 + 2 p k, 5 p /6 + 2 pk), а для строгой записи tg ≥ с: c Є ≥ [p /4 + p k, p /2 + p k]. В ответ добавляется рк, так как помимо верхнего промежутка на графике есть симметричный ему другой интервал, повторяющийся через p.
Система с неизвестными
Уравнения с одной и той же переменной, при сравнении с разным свободным членом, называют при объединении системой линейных неравенств. Для решения такого рода примеров необходимо найти ответ для каждого неравенства отдельно, а затем указать все переменные, удовлетворяющие каждому выражению. Система может содержать бесконечное множество уравнений.
Например, необходимо вычислить множество решений следующего неравенства:
Выполняя простейшие преобразования, рассматриваемую систему можно привести к виду:
Ответом для первого уравнения будет с ≥ 2, а второго с > 3. Решением системы будут такие значения, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Очень часто используют чертёж. На нём изображают две числовые прямые друг под другом. На одной отмечают число два, а на втором три. Области, которые соответствуют решению, закрашивают. После этого визуально становится понятным, какая часть будет являться общим решением. В рассматриваемом примере c > 3. То есть c принадлежит от трёх до плюс бесконечности.
Неравенства с двойной переменной — это выражения вида f (x, y) > 0, при этом знак в выражении может быть любым. Решать примеры такого вида удобно, используя графический метод. Например, пусть x* y 0. В этом случае это выражение можно разделить на х и выражение будет иметь вид y 1/x.
Изобразив все эти решения, на координатной плоскости получают две гиперболы, пространство между которыми будет являться ответом рассматриваемого неравенства.
Например, модуль x плюс модуль y меньше либо равно двум. Для решения нужно рассмотреть всевозможные значения модуля: x ≥ 0, y ≥ 0. Отложить точки на осях координат и соединить их, получится прямоугольник, в середине которого будет находиться искомое множество решений.
Применение онлайн-калькуляторов
Во всемирной сети существуют сервисы, позволяющие вычислять линейные уравнения буквально в течение нескольких секунд. С их помощью решить неравенство любой сложности сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методы, используемые для нахождения ответов.
Эти порталы привлекательны ещё и тем, что каждый выполненный шаг при решении подробно описывается. Появление ошибки при расчёте невозможно. Поэтому эти сайты востребованы даже у математиков, рассчитывающих целые и дробные выражения.
Чтобы получить ответ, регистрироваться не нужно. Необходимо просто зайти на сайт с помощью веб-обозревателя и указать заданное неравенство. Как только искомое выражение будет вписано, следует кликнуть по меню «Рассчитать» и получить ответ с пошаговым решением.
