Как рассчитать усеченную пирамиду

Стороны и ребро усеченной пирамиды

Свойства

Зная стороны оснований усеченной пирамиды, можно вычислить внутренний угол оснований, представленных правильными многоугольниками, периметры и площади оснований усеченной пирамиды, а также радиусы вписанной и описанной около оснований окружностей, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Боковое ребро усеченной пирамиды дает возможность рассчитать через трапеции во внутреннем и боковом пространстве пирамиды апофему и высоту, а также углы между ними и основаниями. Чтобы найти апофему усеченной пирамиды, рассмотрим боковую грань, представляющую собой равнобедренную трапецию, разделенную апофемой на две конгруэнтные прямоугольные трапециями, основаниями которых являются половины сторон оснований самой пирамиды. Исходя из этого апофема равна по теореме Пифагора квадратному корню из разности квадрата бокового ребра и квадрата разности половин сторон оснований пирамиды. (рис. 50.2) f=√(d^2-(b/2-a/2)^2 )=√(d^2-(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, рассмотрим трапецию во внутреннем пространстве тела, между высотой и боковым ребром. Основаниями такой трапеции служат половины радиусов описанных окружностей вокруг оснований усеченной пирамиды. Следовательно, формула высоты по аналогии с апофемой выглядит следующим образом. (рис. 50.3) h=√(d^2-(R_b-R_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и боковом ребре, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую апофема образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4) cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из n-ного количества равнобоких трапеций, площадь каждой из которых равна произведению полусуммы оснований трапеции на ее высоту, то есть, перекладывая на измерения пирамиды – полусуммы сторон оснований пирамиды на ее апофему. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно прибавить к полученному значению обе площади оснований усеченной пирамиды. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны оснований и боковое ребро, можно найти через высоту и площади оснований, найденные по указанным выше формулам. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Источник

Стороны и высота усеченной пирамиды

Свойства

Основания правильной усеченной пирамиды представляют собой правильные многоугольники, зная стороны которых можно найти все остальные параметры, такие как внутренний угол, периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Зная высоту усеченной пирамиды, можно найти ее боковое ребро и апофему, рассмотрев прямоугольные трапеции, соединяющие их через радиусы вписанной и описанной окружностей в основаниях. Из прямоугольных трапеций построив дополнительный прямоугольный треугольник, легко вычислить боковое ребро или апофему как гипотенузу, а также найти углы при основаниях. (рис. 50.3, 50.4) f=√(h^2+(b/2-a/2)^2 )=√(h^2+(b-a)^2/4) cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β d=√(h^2+(R_b-R_a )^2 ) cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь каждой грани усеченной пирамиды, а затем умножить полученное значение на количество сторон в основаниях. Вычислить площадь полной поверхности усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, нужно, преобразовав высоту в апофему по приведенным выше формулам, и сложив площадь боковой поверхности с площадями оснований. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, равен одной трети высоты умноженной на сумму площадей оснований с радикалом из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Источник

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P₁ и P₂ — периметрами оснований, S₁ и S₂ — площадями оснований, S_бок — площадью боковой поверхности, S_полн — площадью полной поверхности:

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Источник

Стороны и высота усеченной пирамиды

Свойства

Основания правильной усеченной пирамиды представляют собой правильные многоугольники, зная стороны которых можно найти все остальные параметры, такие как внутренний угол, периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Зная высоту усеченной пирамиды, можно найти ее боковое ребро и апофему, рассмотрев прямоугольные трапеции, соединяющие их через радиусы вписанной и описанной окружностей в основаниях. Из прямоугольных трапеций построив дополнительный прямоугольный треугольник, легко вычислить боковое ребро или апофему как гипотенузу, а также найти углы при основаниях. (рис. 50.3, 50.4) f=√(h^2+(b/2-a/2)^2 )=√(h^2+(b-a)^2/4) cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β d=√(h^2+(R_b-R_a )^2 ) cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь каждой грани усеченной пирамиды, а затем умножить полученное значение на количество сторон в основаниях. Вычислить площадь полной поверхности усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, нужно, преобразовав высоту в апофему по приведенным выше формулам, и сложив площадь боковой поверхности с площадями оснований. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, равен одной трети высоты умноженной на сумму площадей оснований с радикалом из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Источник

Объем усеченной пирамиды

Чтобы найти объём усечённой пирамиды, достаточно запомнить одну несложную формулу, которая включает три неизвестных параметра. Но для начала давайте вспомним, что описывает каждое слово из обозначенного понятия.

Рассчитать объем усеченной пирамиды

Определения и формулы

Объём (от лат. volume–«наполнение») – это количественная характеристика пространства, которое занимает тело или вещество.

Пирамида (древнегреч. слово, означающее «поминальный пирог конической формы») – это многогранник (полиэдр), у которого одна грань – [произвольный] многоугольник (он же её основание), а все остальные (они считаются боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Усечение же обозначает некую «отрезанность».

Другими словами, это – часть пирамиды, которая заключена между основанием и плоскостью, параллельной ему.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды следующая:

где h– высота «отрезанной» пирамиды,

S₁ и S₂– площади верхнего и нижнего её оснований соответственно.

Введём в соответствующие поля нашего калькулятора известные значения и получим искомый ответ, т.е.

Источник