Как рассчитать прямоугольную трапецию
Нахождение высоты прямоугольной трапеции
В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту прямоугольной трапеции.
Напомним, в прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна ее основаниями, и потому одновременно является высотой фигуры.
Нахождение высоты прямоугольной трапеции
Через длины сторон
Зная длины обоих оснований и большей боковой стороны прямоугольной трапеции, можно найти ее высоту (или меньшую боковую сторону):
Данная формула следует из теоремы Пифагора. В данном случае высота h – это неизвестный катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равняется d, а известный катет – разности оснований, т.е. (a-b).
Через основания и прилежащий угол
Если даны длины оснований и любой из прилежащих к ним острых углов, то вычислить высоту прямоугольной трапеции можно по формуле:
Через боковую сторону и прилежащий угол
Если известна длина боковой стороны прямоугольной трапеции и прилежащий к ней угол (любой), найти высоту фигуры удастся таким образом:
Примечание: с помощью этой формулы можно, в т.ч., доказать, что меньшая боковая сторона – это и есть высота трапеции:
Через диагонали и угол между ними
При условии, что известны длины оснований прямоугольной трапеции, диагонали и угол между ними, рассчитать высоту фигуры можно так:
Если вместо суммы оснований известна длина средней линии, то формула примет вид:
m – средняя линия, которая равна половине суммы оснований, т.е.m = (a+b) /2.
Через площадь и основания
Если известна площадь прямоугольной трапеции и длина ее оснований (или средней линии), найти высоту можно таким образом:
Все формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
Формулы длины боковой стороны (с) :
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
Все формулы основания прямоугольной трапеции
1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании
Формулы длины оснований :
3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали и угол между ними
Формулы длины оснований :
4. Формулы длины оснований трапеции через площадь
Площадь прямоугольной трапеции: онлайн калькулятор, формула расчета, пример вычисления
Вы будете перенаправлены на Автор24
Ниже вы узнаете, как выглядят формулы для нахождения площади прямоугольной трапеции, а также сможете воспользоваться онлайн-калькуляторами для её расчёта.
Особенность прямоугольной трапеции в том, что её высота равна стороне, расположенной перпендикулярно двум основаниям.
Для того чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции через 3 её стороны, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором. Для расчёта введите имеющиеся данные в поля для ввода.
Площадь прямоугольной трапеции
Следовательно, формула для вычисления площади прямоугольной трапеции имеет вид:
$S = \frac12 \cdot (a + c) \cdot b$, где
$a$ — малое основание;
$с$ — большее основание;
$b$ — перпендикулярная основаниям сторона.
Задача
Решение:
Воспользуемся приведённой выше формулой:
Проверим ответ с помощью онлайн-калькулятора. Значения совпадают, а значит, решение найдено верно.
Также площадь прямоугольной трапеции можно рассчитать и по другим формулам, общим для всех видов трапеций, например, через среднюю линию и высоту. Высоту в формуле также можно заменить на сторону, перпендикулярную основаниям.
Площадь трапеции по высоте и средней линии
Формула нахождения площади трапеции по высоте и средней линии:
Другой способ расчёта площади прямоугольной трапеции — через длины оснований и два угла, расположенных при одном основании.
Площадь трапеции через ее основание и углы
Формула нахождения площади трапеции через ее основание и углы при основании:
Также площадь прямоугольной трапеции можно найти через диагонали и угол между ними.
Площадь трапеции по диагонали и углу между диагоналями
Формула нахождения площади трапеции по диагонали и углу между диагоналями:
$S =\frac12 \cdot d1 \cdot d2 \cdot \sin (α)$, где
Задача
Решение:
Вычисленный ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение — верное.
И наконец, рассмотрим случай когда нет данных о том, какие стороны являются основаниями, а какая сторона расположена под прямым углом, но при этом известны все стороны трапеции.
Площадь трапеции по четырём сторонам
Формула нахождения площади трапеции по четырём сторонам выглядит следующим образом:
Площадь прямоугольной трапеции через угол и основания
Особенности и свойства трапеций
Прежде чем разобраться, как найти площадь прямоугольной трапеции, следует подробнее рассмотреть свойства этого класса фигур. Все они представляют собой выпуклые четырехугольники, у которых две и всего две стороны параллельны между собой. Они называются основаниями и имеют разную длину. Оставшиеся две стороны наклонены друг относительно друга под определенным и неравным нулю углом. Они называются боковыми.
Нетрудно догадаться, что основания фигуры должны всегда отличаться по длине. В противном случае параллельными между собой окажутся также боковые стороны, и получится не трапеция, а прямоугольник или квадрат.
Терминология и элементы
Из определения трапеции следует, что эта фигура состоит из двух оснований и двух боковых сторон. Помимо них, в геометрии выделяют также следующие линейные характеристики:
Все формулы для нахождения длин соответствующих линейных элементов трапеции справедливы независимо от значений ее сторон и внутренних углов.
Существующие типы
Несмотря на простоту построения трапеции, она бывает нескольких типов. Последние определяются однозначно с учетом значения внутренних углов фигуры. В геометрии выделяют следующие типы:
Для всех перечисленных типов трапеции справедлив тот факт, что сумма четырех углов составляет 360 °. В любой тип фигуры можно вписать окружность. Для этого необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
Другими словами, сумма длин оснований должна быть в точности равна сумме боковых сторон.
Прямоугольная фигура и ее характеристики
Несмотря на невысокую симметрию трапеции с прямыми углами, работать с ней удобно при решении задач, поскольку можно напрямую использовать теорему Пифагора.
Пусть имеется фигура, в которой a и b — это основания, c — сторона, которая им обоим перпендикулярна и образует с ними прямые внутренние углы, d — боковая сторона, которая наклонена под некоторым углом к основаниям. Из такого построения ясно, что боковая сторона c также является высотой h фигуры.
Углы и диагонали
Формулы для расчета внутренних углов и длин диагоналей в прямоугольной фигуре имеют простой вид. Чтобы найти тупой и острый углы, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован следующими отрезками:
Нетрудно доказать, что синус острого угла α при основании может быть рассчитан по следующей формуле:
Поскольку вместе с тупым углом β он составляет 180 °, тогда справедливы равенства:
Для вычисления диагоналей прямоугольной трапеции можно воспользоваться общими формулами для D1 и D2.
Однако, для этого типа фигуры их можно упростить, воспользовавшись теоремой Пифагора. Любая из проведенных диагоналей образует внутри рассматриваемой трапеции прямоугольный треугольник, поэтому для D1 и D2 можно записать следующие равенства:
Для вычисления диагоналей D1 и D2 необязательно знать длину боковой стороны d.
Вычисление площади
Существует несколько выражений, используя которые можно определить площадь любой трапеции. Для прямоугольной фигуры все эти формулы имеют упрощенный вид. В первую очередь следует отметить общее выражение для площади S, которая равна произведению медианы M на высоту h:
Для прямоугольной трапеции эта формула преобразуется в следующее равенство:
Удобно определять площадь рассматриваемой фигуры также через ее диагонали D1, D2 и угол их пересечения γ. Эта формула имеет вид:
То есть половина произведения диагоналей на синус угла их пересечения дадут площадь всей фигуры. Необходимо отметить, что неважно, какой брать угол (острый или тупой) они связаны друг с другом (в сумме дают 180 °) и их синусы равны. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то формула для S сводится к выражению:
Существует еще одна формула площади трапеции прямоугольной через ее основания a, b и острый угол α. Применяя следующие рассуждения и выкладки можно ее получить:
Аналогичную формулу можно использовать, если известен не острый угол α, а тупой β. В этом случае выражение для S примет вид:
Функция tg (β) здесь является отрицательной величиной, поэтому вычитаемое и уменьшаемое в множителе a-b поменялись местами. Все выражения для расчета площади применимы при определении объема призм в трехмерном пространстве, у которых основания представляют собой трапеции.
Примеры решения задач
Пример 1. Пусть задана прямоугольная трапеция, медиана которой равна 12 см и острый угол при основании составляет 45 °. Также известно, что боковая сторона, которая не является высотой, составляет 10 см. Необходимо рассчитать площадь этой фигуры.
Если рассмотреть треугольник прямоугольный, который образован двумя боковыми сторонами и заданным острым углом, то можно рассчитать высоту фигуры:
h = d*sin (α) = 10*sin (45 °) = 7,071 см.
Поскольку из условия задачи известна медиана, то можно применить общую формулу для определения площади трапеции:
Любопытно отметить, что для решения этой задачи не понадобилось знать длины каждого из оснований.
Пример 2. Известно, что большее из оснований трапеции прямоугольной имеет длину 12 см, ее наклонная сторона равна 10 см, а угол при основании составляет 53,13 °. Необходимо выяснить, как найти площадь прямоугольной трапеции из этих данных.
Для решения задачи удобно использовать следующие общепринятые обозначения:
Рассматривая треугольник с прямым углом, который заключен между сторонами b-a, d и c, можно вычислить все неизвестные длины отрезков:
Общая формула для площади трапеции приобретает вид:
S = M*h = (a+b)/2*c = (2*b — d*cos (α))*d*sin (α)/2.
Пример 3. Известно, что в трапеции с прямыми углами диагонали составляют 7 см и 11 см, высота фигуры равна 5 см. Необходимо найти ее площадь.
Из теоремы Пифагора следует, что каждое из оснований трапеции может быть вычислено следующим образом:
Таким образом, прямоугольная трапеция является простой фигурой, для вычисления площади которой удобно воспользоваться теоремой Пифагора. Существуют несколько формул для определения величины S, параметрами которых являются длины сторон и непрямые углы.