докажите что высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам

Высота треугольника (ЕГЭ 2022)

Там, где есть высота, есть и прямой угол.

А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!

И простые подобия, и «хитрые подобия с косинусом», и другие свойства прямоугольных треугольников!

И самое главное – не нужно ничего запоминать.

Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!

Все в этой статье. Читай и смотри видео.

Высота треугольника — коротко о главном

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

Основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: \( \displaystyle A<_>:B<_>:C<_>=\frac<1>:\frac<1>:\frac<1>\).

Способ 1. Через сторону и угол треугольника: \( \displaystyle A<_>=AC\cdot \sin C=AB\cdot \sin B\).

Способ 3. Через сторону и площадь треугольника: \( \displaystyle A<_>=\frac<2S>\).

Способ 4. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: \( \displaystyle A<_>=\frac<2R>\), где \( \displaystyle R\) — радиус описанной окружности.

Читай далее! Здесь не все…

Высота треугольника — подробнее

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

На этом рисунке \( \displaystyle BH\) – высота.

Но иногда высота (в отличие от биссектрисы и медианы) ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны.

Как же решать задачи, в которых участвует высота?

Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

Но для начала решим простенькую задачку на высоту в тупоугольном треугольнике:

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) с тупым углом \( \displaystyle C\) проведена высота \( \displaystyle BH\). Найти \( \displaystyle AC\), если \( AB=2\sqrt<10>\), \( BC=\sqrt<13>\), \( BH=2\).

Смотри: из-за того, что угол \( C\) – тупой, высота \( BH\) опустилась на продолжение стороны \( AC\), а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Применяем теорему Пифагора к треугольнику \( BCH\):

А теперь теорема Пифагора для \( \Delta ABH\):

Теперь осталось только заметить, что \( AC=AH-CH=6-3=3\).

А теперь давай вернемся к нашим высотам!

В треугольнике проведено две высоты

Первый «неожиданный факт»:

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \( \displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

Здесь тоже подобие по двум углам: \( \angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по-настоящему неожиданный факт:

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

В треугольнике проведены три высоты

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:

2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Итак, нам хотелось бы найти \( \displaystyle \angle \varphi \).

Смотрим на \( \displaystyle \Delta AHC\). Замечаем, что наш \( \displaystyle \angle \varphi \) – внешний угол в этом треугольнике.

Значит, \( \angle \varphi =\angle 1+\angle 2\).

Чему же равны \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\)?

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — \( 180<>^\circ \)! Значит, \( \angle \varphi =\angle B\).

Итак, что получилось?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Остроугольный треугольник и высота

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №6 Все о равнобедренном треугольнике

Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты.

Очень хороший вебинар, чтобы закрепить решением задач то, что вы изучили в этой статье о высоте.

Вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Все о прямоугольном треугольнике

Важнейшая тема — прямоугольный треугольник — свойства, теорема Пифагора, тригонометрия.

Абсолютное большинство задач геометрии сводятся к прямоугольным треугольникам. Поэтому знать нужно как «Отче наш».

И уметь решать задачи — чем мы займемся на этом вебинаре.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Твоя очередь!

Ты знаешь очень много о высоте треугольника. И вот, что нужно сделать дальше. Практикуйся! Ведь я уверен, что с каждой задачей ты будешь все увереннее применять свои знания!

Высота треугольника – не просто перпендикуляр, длину которого мы используем для нахождения площади, верно? Это кое-что покруче 🙂

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Помогла ли тебе эта статья? Понравилась ли она тебе и все ли было понятно?

Напиши внизу в комментариях!

А если остались вопросы, задай их! Мы непременно ответим тебе!

Удачи на экзаменах!

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Дарья Сулейманова
15 января 2018
Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!

Александр (админ)
15 января 2018
Дарья, спасибо! Всей нашей команде очень приятно это слышать. Мы, консультанты, убеждали математиков использовать «человеческий» язык. И они справились очень хорошо. В результате получилось то, что всем нравится. Мы каждый день получаем благодарности. Еще раз спасибо и удачи на зачете!

Олеся
06 апреля 2018
Готовится с внуком к ОГЭ. Школу закончила 45 лет назад. Учили в то время просто отлично. Многое помню хорошо, но некоторые нюансы забылись. Ваш сайт очень помог. Все лаконично, по существу и без лишних заумных оборотов. Скачала ла себе на телефон. В свободное время просматриваю. С удовольствием решаю задачи. Спасибо Вам.

Александр (админ)
06 апреля 2018
Олеся, спасибо за такой отзыв и удачи Вашему внуку на всех экзаменах. А сайт я лично попросил математиков написать «человеческим языком» ) Судя по отзывам, они справились.

Ольга
15 февраля 2019
А как бы еще доказать подобие треугольников HcHHa и АНС Можно без окружностей

Дмитрий
10 февраля 2020
Скажите, прав ли я. (Задание «Угол между высотами») Что не может угол Фи быть = углу В Так как, угол В это 180 минус угол А+С И угол Н это 180 минус угол А+С Значит В и Н равны, следовательно угол Фи это 180 — Н или минус В, что априори не может быть равным не В не Н.

Алексей Шевчук
13 февраля 2020
Дмитрий, угол H — это угол в треугольнике AHC, но в этом треугольнике углы A и С не равны углам A и C треугольника ABC. Чтобы не возникало такой путаницы, важно (а на экзаменах даже обязательно) писать углы полностью (тремя вершинами): ∠AHC = 180 — (∠HAC + ∠HCA); ∠ABC = 180 — (∠BAC + ∠BCA) — и теперь сразу видно, что это не одно и то же.

Андрей
08 апреля 2020
Очень доходчивый язык учебника. Как в старой советской школе. Я просто в восторге

Александр (админ)
08 апреля 2020
Андрей, спасибо большое! Очень приятно слышать! Сравнение лестное! ))

Источник

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

Источник

. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам

Для начала найдём ∠ABC
∠ABC=180°-150°=30°
Теперь рассмотрим ΔABC
∠C=90°, ∠B=30°⇒∠A=180°-90°-30°=60°

Как видно из чертежа ∠CAD =∠DAB и вместе они образуют ∠A треугольника ABC, т.е. для того чтобы найти ∠CAD мы можем весь∠А поделить пополам.
∠CAD=60/2=30°

Ну и теперь находим ∠CDA
∠CDA=180-90-30=60°

Ответ: острые углы равны 30 и 60 градусов

Пусть дан один равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника равен третьему углу второго.

Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3

Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и биссектрисой и медианой. АН=НС.

Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности.

ОМ=ОК=ОН= радиусу вписанной окружности.

Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х.

Тогда ВО=5х, ОН=3х, ОМ=ОК=3х

ВМ=ВК=4х ( можно проверить по т.Пифагора)

АВ=10х, АН=6х. Или из подобия треугольников через отношение сходственных сторон

Периметр треугольника равен АВ+ВС+АС=48

АВ=ВС=1,5*10=15 см

АС=1,5*12=18 см

Источник

Докажите что высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам

Решение

Пусть a ≤ b ≤ c – длины сторон треугольника.

а) Из формулы для длины медианы (см. задачу 57592 а) следует, что большей стороне соответствует меньшая медиана. Таким образом, условие эквивалентно равенствам a : m_c = b : m_b = c : m_a ⇔ a² : (2a² + 2b² – c²) = b² : (2a² + 2c² – b²) = c² : (2b² + 2c² – a²). Несложные преобразования показывают, что каждое из этих равенств эквивалентно соотношению 2b² = a² + c².

б) Из формулы площади треугольника видно, что высоты обратно пропорциональны сторонам. В частности, большей стороне соответствует меньшая высота. Таким образом, условие эквивалентно равенствам aс = b² = ac.

Ответ

Одна сторона равна а) среднему квадратичному; б) среднему геометрическому двух других.

Источники и прецеденты использования

Источник

Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам

Ответы 10

4+6+9=19 частей приходится на все стороны треугольника

38/19 = 2см составляет одна часть

2*4 = 8 см меньшая из сторон, т.к. 4 Удалить ответ +1 балл

6*3=18 первая сторона
9*3=27 вторая сторона
12*3=36 третья сторона

Стороны треугольника обратно пропорциональны числам 1/3; 1/6; 1/8;

следовательно мы имеем пропорцию 3:6:8, а Р=85 дм.

ответ: Верные ответы: 1, 4, 5, 7.

Это третий признак подобия треугольников.

Треугольники подобны по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

Третий угол первого треугольника равен:

т.е. в этих треугольниках нет двух одинаковых углов.

Недостаточно пропорциональности двух сторон.

Источник