докажите что медиана треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы
Медиана, проведенная к гипотенузе
Определим и докажем, чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).
Значит, у него углы при основании равны: ∠ OAC = ∠ OCA=α.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠ B=90º- α.
4) Так как ∠ BCA=90º (по условию), то ∠ BCO=90º- ∠ OCA=90º-α.
5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠ BCO=90º-α, ∠ B=90º- α, следовательно, ∠ BCO= ∠ B.
Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).
6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.
Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы:
Что и требовалось доказать.
Этот способ может быть использован для доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника в 7 классе, поскольку опирается только на материал, уже знакомый к моменту изучения данной темы.
Еще один способ доказательства свойства медианы, проведенной к гипотенузе, рассмотрим в следующий раз.