уравнение движения в дифференциальной форме

iSopromat.ru

Для установления истинного закона движения, уравнение энергетического баланса механизма записывается в дифференциальной форме, которое в данном случае носит название уравнения движения машины.

Дальнейшее решение задачи осуществляется интегрированием уравнения движения машины:

Из-за несоответствия характеристики двигателя и приведенного момента происходит отклонение истинного закона движения главного звена от первоначально заданного, происходят колебания угловой скорости.

Эти колебания оцениваются коэффициентом неравномерности хода. Коэффициент неравномерности хода определяется для цикла установившегося движения, обычно обозначается δ и определяется следующей формулой:

Опыт эксплуатации машин показывает, что на качество работы машины в большей степени влияет величина колебаний скорости главного звена, а не закон, по которому эти колебания происходят.

Поэтому решение задачи обычно сводится к определению коэффициента неравномерности хода δ, после чего он сравнивается с допустимой величиной [ δ ] для данного типа машин. Решение уравнения движения машины (интегрирование) и определение коэффициента неравномерности хода обычно производят графическими методами.

Если коэффициент неравномерности хода окажется больше допустимого для данного типа машин, то необходимо отрегулировать ход машины, т.к. колебания скорости вызывают дополнительные динамические нагрузки на детали машин, а также ухудшают рабочий процесс машины. Простейшим способом регулирования хода машины является постановка маховика.

Маховик – это обычно колесо, имеющее массивный обод. Обладая значительной массой, маховик играет роль аккумулятора кинетической энергии. При избытке энергии у двигателя (когда момент двигателя больше приведенного момента) маховик накапливает эту энергию, при недостатке – отдает ранее накопленную энергию механизму. За счет этого происходит уменьшение колебаний скорости главного звена.

Чем больше масса и скорость маховика, тем меньше коэффициент неравномерности хода. С целью уменьшения массы маховика целесообразно ставить его на наиболее быстро вращающееся звено.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Уравнение движения в дифференциальной форме

Динамическая модель машинного агрегата.

Уравнения движения динамической модели

Уравнение движения динамической модели в интегральной форме.

Запишем для динамической модели теорему о изменении кинетической энергии

где

и уравнение движения динамической модели в интегральной или энергетической форме

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета угловой скорости звена приведения.

Для машин работающих в режиме пуск-останов

формула принимает вид

Уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

где

После подстановки получим

уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции динамической модели

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента динамической модели

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов.

Пример на определение параметров динамической модели (на приведение сил и масс ).

1. Определение сил веса G i = m i × g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Передаточные функции:

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Источник

Классическая механика: о диффурах «на пальцах»

Введение

В этой статье я продолжаю тему цифровой обработки сигналов. В ней я постараюсь простым языком рассказать о концепции игровой механики (физики) с использованием подхода на основе дифференциальных уравнений. В будущем я собираюсь оценить действительно ли реализация такого подхода приведет к резкому увеличению вычислительной нагрузки. В рамках этой статьи не получится — слишком большой объем. В этой я собираюсь описать назначение коэффициентов, входящих в математическую модель динамического объекта, описать их физический смысл, т.е. их влияние на поведение динамического объекта.
Начнем пожалуй…

Физический смысл

Динамика в картинках

Чтобы наглядно показать влияние коэффициентов дифф. уравнения на поведение динамического объекта решил построить графики переходного процесса при ступенчатом (step response) и импульсном (impulse response) входных воздействиях. Всего представлено 6 групп графиков (по одной группе для каждого коэффициента). Графики построены в пакете Octave (v. 3.4) с установленным пакетом «Signal Processing».
Итак, в качестве исходной возьмем модель вида:
=========================================
>>> w = tf([1 1],[1 1 1])

Transfer function «w» from input «u1» to output…

Continuous-time model.
=========================================


Код «w = tf([1 1],[1 1 1])» в символьном виде имеет вид:
>>> w = tf([b0 b1],[a0 a1 a2])
На скриншотах внизу-справа — примерное время стабилизации (коридором стабильности считаем ± 5% от заданной величины).

Попробуем поиграться с коэффициентом жесткости a2.
>>> w1 = 0.1*tf([1 1],[1 1 0.1])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 0.1)

>>> w2 = 10*tf([1 1],[1 1 10])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 10)
Примечание: пришлось подшаманить с коэффициентами усиления, чтобы результирующий коэффициент усиления был равен единице.


Что видно на графиках? Слева-направо представлены графики для w, w1 и w2, соответственно. Графики w1 более плавные и медленнее достигают установившегося значения. Графики w2 имеют более колебательный характер, но быстрее достигают установившегося значения. Вывод: жестче пружина — больше колебаний, но короче переходный процесс.

Попробуем поиграться с демпфированием (а1).
>>> w1 = tf([1 1],[1 0.25 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 0.25s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[1 2 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 2s + 1)


Сразу вывод: больше вязкость — быстрее затухают колебания.

Попробуем поиграться с инерцией (а0).
>>> w1 = tf([1 1],[0.1 1 1])
y1: (s + 1)/(0.1s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[2 1 1])
y1: (s + 1)/(2s^2 + s + 1)


Вывод: меньше масса чугуняки — меньше болтанки и короче переходный процесс.

Перейдем к правой части и поиграемся с b1.
>>> w1 = 10*tf([1 0.1],[1 1 1])
y1: (10 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = 0.25*tf([1 4],[1 1 1])
y1: (0.25 s + 1)/(s^2 + s + 1)


Вроде бы разница еле заметна, если смотреть на графики Step Response. Но на графиках Impulse Response хорошо виден эффект этого коэффициента. Если он равен единице, то график импульсного переходного процесса начинается с единицы (на самом деле он выходит из нуля, но не суть важно — второе значение в графике еденица). График w1 «начинается» со значения 10 (обратная величина от 0.1), а график w2 — начинается со значения 0.25 (обратное к 4). Таким образом, коэффициент b1 можно «обозвать» коэффициентом эффективности управления (входного воздействия).

И напоследок вкусненькое — игры с коэффициентом b0. Это хитрый коэффициент, потому и сравнение будет не таким как было выше. Чтобы показать его эффект придется варьровать несколько коэффициентов.
>>> w1 = tf([6 1],[1 1 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([6 1],[1 3 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + 3 s + 1)


Чем отличаются друг от друга w1 и w2? У w2 в три раза больше коэффициент демпфирования. В результате получаем интересные выводы. Графики w1 и w2 раньше пересекают уровень установившегося значения чем дефолтный график. Однако график w1 сохраняет форму дефолтного с его колебательностью, а график w2 за счет увеличенного демпфирования более сглаженный. Таким образом, играясь с форсированием и демпфированием мы можем заставить даже чугунный утюг порхать по рингу как бабочка без колебаний туда-сюда.

На правах PS

В данной статье я рассматривал лишь положительные значения коэффициентов. Их положительность — необходимое условие устойчивости мат. модели. Однако можно попробовать поиграться и с отрицательными значениями. Неустойчивой системой также можно управлять. Вспомните о самолетах пятого поколения (например, наш Беркут). Обратная стреловидность крыла — это неустойчивый планер, но зато высокая маневренность. Автоматика способна скорректировать эту неустойчивость и при этом, когда нужно, закладывать крутые виражи.
Если получится, состряпаю игрушку, с которой можно будет наглядно увидеть все эти эффекты.

Источник

Дифференциальное уравнение движения системы в теоретической механике

Дифференциальное уравнение движения системы:

Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из

Систему дифференциальных уравнений (3) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (3) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы. Для нахождения движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы нужно проинтегрировать, следовательно, систему дифференциальных уравнений. Эту задачу не удается точно решить в общем случае даже для одной точки. Она исключительно трудна в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах) и совершенно неразрешима в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах).

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой линии.

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени.

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные первые интегралы и не могут полностью описать движения всех точек системы, однако они иногда характеризуют важные стороны движения системы в целом.

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными.

Общие теоремы динамики являются следствиями системы дифференциальных уравнений движения точки или соответственно системы точек.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем

Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

(155 / )

или в проекциях на оси координат:

(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ.

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φ_e—переносной и Φ_c-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом

Ответ. и не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φ_с=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник