учет кривизны земли в геодезии

Метод проекции в геодезии. Учёт влияния кривизны Земли на измерение горизонтальных и вертикальных расстояний

При изображении на плоскости (листе бумаги) различных контуров земной поверхности все их точки проектируют со сложной физической поверхности Земли на более простую поверхность по перпендикулярам к этой поверхности (рисунок 1.10). Таковыми поверхностями могут быть поверхность земного эллипсоида, шара или плоскость.

Проектирование точек земной поверхности по перпендикулярам к принятой поверхности называется о р т о г о н а л ь н ы м проектированием.

При изображении небольших по площади участков местности на плоскости (на плане) пренебрегают кривизной земной поверхности, т.е. участок местности принимают за плоскость. Какими же должны быть размеры таких участков, чтобы их кривизной можно было бы пренебречь?

Из рисунка 1.11 видно, что

d = R tg , (1.3)

S= R , (1.4)

где угол выражен в радианах. Тогда

d = R (tg — ). (1.5)

Ограничиваясь первыми двумя членами этого убывающего ряда, и, пренебрегая последующими в виду их малости, получим

d = R 3 /3. (1.6)

Принимая во внимание, что = S/ R, получим

Приняв R=6371 км, d = 10 км, получим d/d=1/1000000. Такая ошибка считается допустимой при самых точных измеренияхрасстоянийна земной поверхности. Поэтому если изображаемый на плане участок земной поверхности не выходит за пределы круга диаметром 20 км, то соответствующую ему часть уровенной поверхности можно принять за плоскость. С увеличением расстояния d ошибка d быстро увеличивается, так как она пропорциональна кубу расстояния.

Определим теперь величину ошибки h в вертикальном расстоянии вследствие неучёта кривизны Земли.

Из треугольника ОАС получим

h = d 2 / 2R. (1.9)

Подставляя в формулу (1.2) различные значения d, получим следующие погрешности h:

h,см. 0.08 7.8 31 71 785

При инженерно-геодезических работах требуемая точность определения отметок характеризуется ошибками менее 1-2 см, поэтому влияние кривизны Земли на определение высот должно, как правило, учитываться.

Вопросы для контроля

1. Задачи инженерной геодезии

2. Современные представления о фигуре Земли

3. Система географических координат

4. Система прямоугольных и полярных координат

6. Что означают координаты точки Х = 5345123 м; У = 12345678 м?

7. Понятие абсолютной, относительной высот точек.

8. Как проектируют точки физической земной поверхности на эллипсоид, плоскость?

9. Как вычислить ошибку в измеренном расстоянии при неучёте кривизны Земли?

10. Как вычислить ошибку в измеренной высоте вследствие неучёта кривизны Земли?

Источник

Влияние кривизны Земли на измеряемые расстояния и высоты точек

Задачи геодезии

В геодезии, как в науке, в зависимости от решаемых задач выделяется ряд дисциплин. Задачей определения фигуры (формы) и размеров Земли, а также вопросами создания высокоточных геодезических опорных сетей занимается высшая геодезия. Вопросы, связанные с изображением сравнительно небольших частей земной поверхности в виде планов и профилей, решает топография (в строительстве – инженерная геодезия). Созданием сплошных изображений значительных территорий в виде карт занимается картография. Аэрогеодезия, космогеодезия, гидрография, маркшейдерия (подземная геодезия) также являются научными направлениями в геодезии. В задачи инженерной геодезии, которые она решает для различных отраслей промышленности, входит топографическая съемка территорий, перенесение в натуру проектов зданий и сооружений, различные измерения на отдельных стадиях строительства и, наконец, определение деформаций и сдвигов сооружений в процессе их эксплуатации.

Решение этих задач осуществляется путем:

1) измерения линий и углов на поверхности земли, под землей (в шахтах и туннелях), над землей при аэрофотосъемке (АФС) и космической съемке, под водой − для составления планов, профилей и специальных целей;

2) вычислительной обработки результатов измерений;

3) графических построений и оформления карт, планов и про- филей.

Строительство промышленных и гражданских сооружений, автомобильных дорог, осушительная или оросительная мелиорации земель требуют широкого использования геодезических методов. Например, при природообустройстве той или иной территории требуются планы, карты, профили, которые позволяют определить существующее состояние земель (почва, растительность, увлажненность и т.д.). По результатам экономического анализа устанавливают необходимость мелиорации, рекультивации, охраны земель и проектируют объекты природообустройства, границы которых затем переносят на местность. В настоящее время в результате внедрения современных технологий решение этих задач может быть почти полностью автоматизировано.

Геодезия тесно связана с математикой, астрономией, географией, геологией, геоморфологией, механикой, оптикой, электроникой, черчением и рисованием.

2.История развития геодезии.

Геодезия возникла за несколько тысячелетий до н.э. в Египте, Китае, Греции и Индии. Пирамиды, каналы, дворцы – возведение этих объектов стало возможным только при разработанных приемах геодезических измерений. Можно выделить следующие основные вехи в развитии инженерной геодезии, в т. ч. и в России:

В III в. до н.э. впервые была осуществлена попытка определения величины земного радиуса египетским математиком и географом Эратосфеном.

Первые исторические сведения о геодезических работах на Руси появились в XI в. н.э. Об этом свидетельствует Тмутараканский камень, на котором сохранилась надпись, что князь Глеб в 1068 г. из- мерил расстояние в 20 верст между Керчью и Таманью по льду. В XVI в. создается одна из первых карт Московского государства «Большой Чертеж». В XVII в. выходит первая русская печатная карта, составленная С.Е. Ремезовым «Чертеж Сибирской земли».

Бурное развитие геодезические работы получили после изобретения Галилеем в XVII в. зрительной трубы, что привело к появлению первых геодезических приборов нивелиров, а несколько позже теодолитов.

В 1739 г. был учрежден Географический Департамент Петербургской Академии Наук, которым в 1758-1763 гг. руководил М. В. Ломоносов.

Французский ученый Деламбер в 1800 г. определил размеры земного эллипсоида и предложил в качестве измерения длины 1 м равный 1 : 40 000 000 части парижского меридиана.

В 1822 г. был основан корпус русских военных топографов.

В XIX в. проводятся геодезические работы по построению геодезических сетей и градусные измерения по меридиану. Большие геодезические работы, проведенные при генеральном межевании после отмены крепостного права в 1861 г. завершились изготовлением генеральных уездных планов и губернских атласов.

После революции 15.03.19г. Совет Народных Комиссаров учреждает Высшее геодезическое управление. С 1927 г. начинает использоваться аэрофотосъемка. В начале 60-х гг. XX в. появляется космическая съемка. За советский период вся территории страны была покрыта геодезической съемкой разных масштабов вплоть до 1:25000.

В 90-е гг. XX в. в геодезии начали широко внедрятся новые компьютерные технологии на всех этапах геодезических работ.

3. Форма и размеры Земли.

Основной уровенной поверхностью или поверхностью геоида называется поверхность, совпадающая с средним уровнем воды океанов в спокойном состоянии и продолженная под материками. Из-за неравномерного распределения масс внутри Земли геоид не имеет правильной геометрической формы (рис.1) и его поверхность не может быть выражена математически.

Рис. 1. Земной эллипсоид и геоид

Однако поверхность геоида ближе всего подходит к математической поверхности эллипсоида вращения, получающегося от вращения эллипса PQ₁P₁Q вокруг малой оси РР₁. Поэтому практически при геодезических и картографических работах поверхность геоида заменяют поверхностью эллипсоида вращения, называемого также сфероидом. Линии пересечения поверхности сфероида плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами и представляются на сфероиде эллипсами. Линии пересечения сфероида плоскостями перпендикулярными к оси вращения являются окружностями и называются параллелями. Параллель, плоскость которой проходит через центр сфероида называется экватором. Линии OQ = a и ОР = b называют большой и малой полуосями сфероида (а – радиус экватора, b – полуось вращения Земли).

С 1946 г. для геодезических и картографических работ в СССР приняты размеры земного эллипсоида Ф. Н. Красовского:

a = 6 378245 м, b = 6 356863м, а-b»21км, a = 1:298,3.

Влияние кривизны Земли на измеряемые расстояния и высоты точек

При геодезических работах, выполняемых на небольших по площади участках местности, уровенную поверхность принимают за горизонтальную плоскость. Такая замена влечет за собой некоторые искажения в длинах линий и высотах точек.

Рассмотрим при каких размерах участка этими искажениями можно пренебречь. Допустим, что уровенная поверхность является поверхностью шара радиуса R (рис.1.2). Заменим участок шара АоВоСо горизонтальной плоскостью АВС, касающейся шара в центре участка в точке В. Расстояние между точками В (Во) и Со равно r, центральный угол соответствующий данной дуге обозначим α, отрезок касательной ВС = t, тогда в горизонтальном расстоянии между точками В (Во) и Со возникнет ошибка Δd = t – d. Из рис. 1.2 находим t = R•tgα и d = R•α, где угол α выражен в радианах α = d / R, тогда Δ d =R(tgα –α) а так как значение d незначительно по сравнению с R то угол настолько мал, что приближенно можно принять tgα –α = α3/3. Применив формулу определения угла α, окончательно получаем: Δ d = R• α3/3 = d3 /3R2. При d = 10 км и R = 6371 км погрешность определения расстояния при замене сферической поверхности плоскостью составит 1 см.Учитывая реальную точность, с которой производят измерения на местности при геодезических работах, можно считать, что на участках радиусом 20- 25 км погрешность от замены уровенной поверхности плоскостью не имеет практического значения. Иначе обстоит дело с влиянием кривизны Земли на высоты точек. Из прямоугольного треугольника ОВС

где р – отрезок отвесной линии ССо, выражающий влияние кривизны Земли на высоты точки С. Так как полученное значение р очень мало, по сравнению с R, то в знаменателе полученной формулы этой величиной можно пренебречь. Тогда получим

Для различных расстояний l определим поправки в высоты точек местности, значения которых представлены в табл. 1.1, из которой видно, что влияние кривизны Земли на высоты точек сказывается уже на расстоянии в 0,3 км. Это необходимо учитывать при производстве геодезических работ.

Таблица 1.1 Погрешности измерений высот точек на разных расстояниях

Дата добавления: 2019-07-17 ; просмотров: 1770 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Кривизна горизонта, или что такое «Геодезическая»

Всем привет. Сегодня хочу рассказать вам про своё небольшое математическое исследование по мотивам блуждающих в сети вопросов о том, насколько изогнутым должен выглядеть видимый горизонт в зависимости от высоты наблюдателя над нашей планетой. По осени я рассказывал о том, как сильно должен снижаться горизонт: https://pikabu.ru/story/snizhenie_gorizonta_ili_quotna_urovn.

А сегодня мы затронем не только снижение, но и искривление видимой границы планеты. Сразу отмечу, что поскольку это качественное исследование (чтобы просто оценить масштаб трагедии), то я пренебрёг эффектами атмосферной рефракции.

Давайте рассмотрим несколько значений относительной кривизны:

2) если вы двигаетесь по параллели 1 градус северной широты, то формально это уже не Большой Круг, но очевидно, что отличается от Большого круга он очень незначительно, поэтому кривизна хоть и ненулевая, но около того: 0.017;

4) при движении по 89-й параллели вы двигаетесь почти по плоскому кругу радиусом 111 км, и кривизна при этом составляет 57.

Я решил пойти дальше и визуализировать эти искривления, чтобы своими глазами понять, как именно должен выглядеть идеальный горизонт с разной высоты. Пришлось учитывать два следующих нюанса:

1) поскольку кривизна с малых высот очень мала, то для отрисовки пришлось использовать гауссово размытие линии, чтобы линия не прыгала с пикселя на пиксель, создавая грубое изображение;

2) поскольку вы рассматриваете изображение на экране определённого размера, то вообще-то воспринимаемая кривизна будет зависеть от того, с какого расстояния вы смотрите на экран.

В заключение пара картинок с характерных высот.

Снижение 19 градусов, высота 370 км (примерно как с МКС):

Снижение 81.5 градуса (если его так можно назвать для таких больших высот), высота 37000 км (примерно геостационарная орбита):

Источник

Кривизна земли и ее учет при измерении горизонтальных расстояний

α- центральный угол в радианной мере ( )

d- горизонтальное проложение

(кратчайшее расстояние по горизонтальной поверхности)

S- длина линии с учётом кривизны Земли.

Задача определить разность Δd длин d и S

т.к.

Анализ R=6371км. S=10км. Δd=1см.

На участке земной поверхности при радиусе 10км., кривизну Земли можно не учитывать.

2. При измерении превышений (высот).

Задача определить Δh.

Допустимая разность Δh на 1км. не более 5см.

Уменьшим значение S до 0,3км. S=0,3км.

К ривизну Земли на участке длиной до 300 при измерении высот можно не учитывать.

Кривизна Земли не влияет на условие измерения (т.к. проекция равноугольная) и её при измерениях не учитывают.

3.Системы координат

.Положение точек поверхности земли определяется координатами.

Координаты — величины, определяющие положение точки на поверхности, в пространстве, на плоскости.

Системы координат — составляют исходные плоскости, линии, точки.

Все системы координат, применяемые в геодезии, можно разделить на две группы:

Пространственные системы координат:

1 . Географическая система координат (обще название), которая объединяет астрономическую и геодезическую системы координат. Будем рассматривать геодезическую систему координат.

2.Пространственная полярная система координат.

Плоские системы координат:

1. Зональная система плоских прямоугольных координат.

2. Плоская условная система прямоугольных координат.

3. Система плоских полярных координат.

Плоская прямоугольная система координат.

А) зональная система плоских прямоугольных координат В соответствии с принятой равноугольной поперечно-цилиндрической проекцией Гаусса, в геодезии принята зональная система плоских прямоугольных координат.

Положение точек земной поверхности определяется прямоугольными координатами Х и У. Оси координат в геодезии развернуты на 90 градусов по сравнению с декартовой системой координат.

Счет абсцисс ведется от экватора к северу со знаком плюс. К югу — со знаком минус. Для территории нашей страны абсциссы положительны, поэтому знак перед значением абсциссы не ставится (опускается).

Ординаты к востоку от осевого меридиана положительны, а к западу отрицательны.

Для того, чтобы все значения ординат были со знаком плюс, счет их ведется от условного меридиана, вынесенного на запад на 500 км, т.е. осевому меридиану придается значение 500 000 м. при этом впереди значения ординаты пишут номер зоны.

Исправленную таким образом ординату называют приведенной или условной, а координаты называют условными или действительными.

Связь между условными координатами и их

Х’, У’ — действительные значения координат

Х, У — условные значения координат.

Хм = 5 650 450, где 5 650 км, 450 м

Ум = 3 250 550, где 3 — номер зоны, 250 км, 550 м.

Это полные условные прямоугольные координаты точки.

Полные действительные координаты:

Точка М расположена в третьей зоне в 249 км 550 м к западу от осевого меридиана (250 550 — 500 000) и к северу от экватора на удалении 5 650 км 450 м.

Для измерения прямых координат на карты наносится координатная сетка. Координаты, в которых указываются только десятки и единицы километров и метров, называются сокращенными.

Они применяются при работе в пределах границ карты, плана. Система применяется при составлении планов, карт.

Б) Система плоских полярных координат.

— начало координатной системы (полюс)

Возможные варианты элементов системы координат: Полярная ось — любое ориентирное направление (А, Ам, а, сторона теодолитного хода и т.д.)

Начало координат: — точка стояния

— точка теодолитного хода

Координаты, определяющие положение точки:

— горизонтальный угол между полярной осью и направлением на определяемую точку

— горизонтальное расстояние от полюса до определяемой точки (d).

— при теодолитной съемке

— при выполнении разбивочных работ (вынос точки в натуру).

В) Плоская условная система прямоугольных координат

-начало — произвольная точка

-ось абсцисс (произвольно)

— ось ординат (перпендикулярна к оси абсцисс)

Обобщенный анализ плоской системы координат

1. Осями координат горизонтальная плоскость делится на 4 четверти.

2. В геодезии принята правая система прямоугольных координат (в отличие от принятой в математике левой декартовой системы)

3. Нумерация четвертей ведется по ходу стрелки часов, начиная с северо-восточной четверти, что позволяет использовать в геодезических вычислениях формулы тригонометрии без каких-либо изменений. Ось абсцисс 1 четверти ориентирована на север (0градусов).

4 . Координаты точек равны кратчайшим расстояниям от начала координат до проекции этих точек на оси Х и У.

5. Разность между проекциями двух точек на оси Х и У принято называть приращением координат и обозначать ( х, у) (разность между координатами двух точек)

6. Приращения координат имеют знаки (+), значение которых определяется координатными осями четвертей.

7. Если известны координаты одной точки, то координаты другой можно найти

Хв =Ха + ( )

8. 8. Система плоских координат имеет широкое применение в инженерной геодезии.

Источник