Как решить уравнение графиком
Решение систем уравнений
Содержание:
Графический метод решения систем уравнений
Вспоминаем то, что знаем
Что такое график уравнения с двумя неизвестными?
Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Решите графическим методом систему линейных уравнений:
Открываем новые знания
Решите графическим методом систему уравнений:
Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту
В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.
Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Начнём с графического метода
Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.
Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.
Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Примеры с решением
Пример 1:
Решим систему уравнений:
Построим графики уравнений 
Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).
Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.
Пример 2:
Выясним количество решений системы уравнений:
Построим графики уравнений 
Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.
Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспоминаем то, что знаем
Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Решите систему линейных уравнений методом подстановки:
Открываем новые знания
Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?
Решите систему уравнений методом подстановки:
Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?
Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?
Ранее вы решали системы уравнений первой степени.
Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.
Пример 3:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим х из уравнения 
Подставим найденное выражение в первое уравнение:
Решим полученное уравнение:
Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.
Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.
Пример 4:
Решим систему уравнений:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим у из линейного уравнения:
Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:
После преобразований получим:
Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».
Пример 5:
Подставим во второе уравнение 
тогда его можно переписать в виде:
Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:
Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:
Корни этого уравнения: 
.
Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.
Пример 6:
Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:
.
Корни этого уравнения: 
Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:
1) 
2) 
, получим уравнение 
корней нет.
Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.
Пример 7:
Решим систему уравнений:
Обозначим 
Второе уравнение системы примет вид:
Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:
Осталось решить методом подстановки линейные системы:
Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:
1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;
2) решают полученную систему;
3) отвечают на вопрос задачи.
Пример 8:
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — 
см.
Воспользуемся теоремой Пифагора: 
Решим систему. Выразим из первого уравнения у:
Подставим во второе уравнение:
Корни уравнения: 
Найдём 
С учётом условия 
получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.
Пример 9:
Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Тогда: 
— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
Дальше будем решать методом подстановки:
Подставим в первое уравнение выражение для у:
Корни уравнения: 
(не подходит по смыслу задачи).
Найдём у из уравнения:
Получим ответ: 16 и 7.
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение 
симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть не меняется. А вот уравнение 
не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть меняется.
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.
Например, если в системе уравнений
переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:
Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.
Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:
Сначала научитесь выражать через неизвестные 
выражения:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Уроки математики и физики для школьников и родителей
понедельник, 23 марта 2020 г.
Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
ВИДЕО УРОК
Чтобы графически решить уравнение
необходимо построить графики функций
и найти абсциссы точек пересечения построенных графиков.
Решить графически уравнение :
Сначала нужно определиться с методом решения уравнения. Очевидно, никакие преобразования уравнения не дают возможности перейти к каким-либо более простым уравнениям. В данном случае можно попробовать решить уравнение графическим методом. Здесь видно, что функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения их графиков. Поэтому построим в одной системе координат графики функций :
График квадратичной функции
это парабола. Вычислим координаты её вершины :
Определим абсциссы точек пересечения. По чертежу можно судить об их приближённых значениях :
Это есть приближённые значения корней решаемого уравнения.
Возможно, найденные значения являются точными значениями корней. Проверим это предположение, для чего выполним проверку подстановкой :
Сначала в уравнение
–0,5 x 2 – х + 2,625 = со s πx
–0,5 x 2 – х + 2,625 = со s πx
(–0,5)(1,5) 2 – 1,5 + 2,625 = со s π ∙ (1,5),
Проверка показала, что –3,5 и 1,5 – это корни уравнения :
Решить графически уравнение :
На одном и том же рисунке начертим два графика :
и график функции у = 1 – x.
Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения
Проверим значение х = 0,6 . Имеем (при х = 0,6 )
Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень х 0 должен быть меньше, чем 0,6 . Теперь мы знаем, что х 0 находится в интервале
Поэтому с точностью до 0,1
С помощью таблиц можно найти приближённое значение х 0 и с точностью до 0,01 . Разделим интервал
пополам. В средней точке (х = 0,55) этого интервала
Опять получаем, что
Проверим точку х = 0,52 (она близка к средней точке х = 0,525 интервала [0,50; 0,55] , в котором заключён корень х 0 ).
Поэтому с точностью до 0,01
Урок-практикум «Графическое решение уравнений, содержащих функцию y=√х (функцию квадратного корня)». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Базовый учебник: Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович.
Цель урока: применить алгоритм решения уравнений графически к функции у = 
.
Тип урока: урок практикум.
Оборудование: учебник, рабочая тетрадь, раздаточный материал, школьная доска, интерактивная доска.
План урока.
1. Организационный момент. 1 мин
2. Проверка домашнего задания. 5 мин
3. Актуализация знаний. Устная работа с классом. 7 мин
4. Закрепление материала 20 мин
5. Тренировочная самостоятельная работа. 8 мин
6. Постановка домашнего задания. 3 мин
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. (Учащиеся проверяют домашнюю работу, сверяясь с эталоном, оценивают правильность и полноту выполнения согласно критериям, ставят оценку).
С помощью графика найдите: Слайд 3
а) значения у при х = 1; 
; 9; (выборочно)
в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке 
;
3. Актуализация знаний. Устная работа с классом.
1. Принадлежит ли графику функции у = точки
А(2; 
); В(1; 0); С(6,25; 2,5); Д(-9; 3).Слайд 4
2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у = Слайд 5
а) на отрезке 
;
б) на полуинтервале [4; 7);
в) на луче [0; 
)
3. Решите уравнение по заданному графику: х 2 = х +2. Слайд 6
Учащиеся вспоминают (7 класс) алгоритм решения уравнений данного типа, проговаривая, что является корнем уравнения. Как данное задание мы будем применять на уроке.
Ученики говорят тему урока(на доске записана), формулируют цель,
4. Закрепление материала
Задание 1. Итак, повторив алгоритм решения уравнений графически выполним задание № 13.9 (б).
(ученик у доски, остальные в тетради)
= 6 – х;
2) Построим график функции у = ,
3) Построим график функции у = 6 – х,
4) По графику устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А(4; 2). Проверим принадлежность данной точки нашим функциям.
Ответ: х = 4. Слайд 7
Задание 2 Решить уравнение графически: два человека у доски остальные на местах выполняют соответственно свои варианты самостоятельно. Совместно устраняют в ходе проверки обнаруженные пробелы (на доске и на листах учеников готовая памятка с построенным графиком линейной функции). Построение графика квадратного корня 
ученики выполняют самостоятельно. И записывают ответ.
Памятка 1 вариант
а) – 
= х – 2
Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+
Памятка 2 вариант
Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+
Задание 3. Решить графически систему уравнений
(работа выполняется в парах используя приложение № 2)
После выполнения задания учащиеся проверяют свое решение, сравнивая с эталоном. Слайд 8
Встаньте те кто справился с данным заданием.
Физкультминутка для глаз. Слайд 9
Задание 4. Работа в группах(задания дифференцированы, приложение 3): Слайд 10
Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек. Слайд 11
Чтобы доказать, что графики функций y = и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.
Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b Слайд 12
а) Построим график функции y = 
и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
Таким образом, очевидно, что уравнение = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.
Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
Получаем, что уравнение = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.
Обсуждение решений каждой группы.( Для готовых графиков квадратного корня на интерактивной доске учащиеся показывают свои решения)
5. Тренировочная самостоятельная работа.
В а р и а н т 1
а) значение функции при х = 3, у =____
б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 1,8; х = _____
2. Принадлежит ли графику функции y = точка:
а) А (36; 6); ______ б) В (–9; 3)_______?
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.
В а р и а н т 2
1. По графику функции y = найдите:
а) значение функции при х = 5; у =
б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 1,5; х =
3. Решите уравнение графически = х
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.
Проверяем работу с помощью эталона. Слайд 13 Выясняем проблемы по данной теме.
6. Постановка домашнего задания.
№ 13.9(г), № 13.11(г), № 13.16(рис 7 опишите свойства функции)
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.
8. Итог урока.
Урок я хочу закончить словами древнегреческого ученого Фалеса:
Что быстрее всего? – Ум
Что мудрее всего? – Время
Что приятнее всего? Достичь желаемого.
Я думаю, мы с вами достигли желаемого? Еще раз вспомнли функцию квадратного корня из неотрицательного числа и применили алгоритм решения уравнения графически к этой функции. Но ребята, кроме у = в дальнейшем мы будем рассматривать более сложные функции, например у = 
у = -1 у = 
+5.
Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте.
Приложение № 1
Для номера 13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2
Приложение 2
Работа в парах Задание № 3
Решите графически систему уравнений:
Приложение 3
Работа в группах Задание № 4
Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек.
Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b