Как решить площадь треугольника
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
Как найти площадь треугольника
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Площади фигур. Площадь треугольника.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Точки
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади треугольника.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Ниже приведены основные формулы, по которым можно найти площадь треугольника:
1. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину
проведенной к этой стороне высоты.
2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.
3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между
4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Площадь
треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Как посчитать площадь треугольника
Что такое площадь треугольника
Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами.
Площадь треугольника — это величина плоскости, заключенной между сторонами этой геометрической фигуры.У треугольника она равна произведению половины основания на высоту.
Математически это выглядит так:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
где a — основание треугольника, а h — его высота.
Способы нахождения площади
Но существуют также и другие способы, по которым можно найти S этого многоугольника. Рассмотрим основные из них.
Через две стороны и угол
Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:
где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.
Через радиус описанной окружности и три стороны
Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:
где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.
Через радиус вписанной окружности и три стороны
В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:
где r — радиус вписанной окружности, \(\frac
Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:
где p — полупериметр треугольника.
Через сторону и два угла
Если в данной фигуры вам известна лишь одна сторона и две прилегающих к ней угла, ее S можно найти следующим образом:
Для прямоугольного треугольника
В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.
По двум сторонам
Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:
где a и b — катеты прямоугольного треугольника.
Через гипотенузу и острый угол
Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.
Начнем с поиска катета:
где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α — угол между ними.
Через катет и прилежащий угол
В этом случае нужно будет использовать следующую формулу:
Через радиус вписанной окружности и гипотенузу
Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:
где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.
Через вписанную окружность
Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:
где \(с_1\) и \(с_2\) — неравные отрезки гипотенузы.
По формуле Герона
Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:
где \(p=\frac
Для равнобедренного треугольника
Рассмотрим случаи нахождения площади, если у треугольника равные боковые стороны.
Через основание и сторону
В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:
где a — одно из боковых ребер фигуры, а b — ее основание.
Через основание и противолежащий угол
Зная длину основания и противолежащий ему угол, мы можем использовать следующую формулу:
где b — основание многоугольника, β — противолежащий ему угол.
Через основание и высоту
Если нам известна величина основания равнобедренного треугольника, а также его высота, найдем S по приведенной ниже по элементарной формуле:
где b — основание фигуры, а h — высота, проведенная к этому основанию.
Через боковые стороны и угол между ними
Если мы знаем длину боковых сторон и угол между ними, найдем площадь, опираясь на расчеты:
где a — это боковое ребро, β — угол между равными ребрами.
Через основание и угол между боковыми сторонами
В этом случае нам сначала придется найти высоту по формуле:
где β — угол при вершине, а b — основание.
Далее подставляем значение в формулу
Для равностороннего треугольника
В треугольнике, у которого все стороны равны, способы нахождения S также имеют свою специфику.
Через радиус описанной окружности
Если вокруг данного многоугольника описали окружность и нам известен ее радиус, расчеты будут такими:
где R — радиус описанной окружности.
Через радиус вписанной окружности
В этом случае воспользуемся таким уравнением:
где r — радиус вписанной в многоугольник окружности.
Через сторону
Зная лишь одно ребро у равностороннего треугольника, мы можем найти S:
где a — сторона фигуры.
Через высоту
Если нам известна только высота, можем вычислить S таким образом:
Примеры решения задач
Разберемся с нахождением площади треугольника наглядно на примере некоторых случаев.
Задача 1
В треугольник вписана окружность с радиусом 6 см. Известно, что его стороны равны 10 см, 12 см и 14 см. Определить площадь фигуры.
Решение
Задача 2
Дан равносторонний треугольник, вокруг которого описали окружность с радиусом 3 см. Посчитать S данной фигуры.
Решение
Задача 3
Известно, что у равнобедренного треугольника основание равно 4 см, а стороны по 3 см. Нужно вычислить площадь фигуры.
Решение
Задача 4
Решение
Площадь треугольника
Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.
Что такое треугольник
Треугольник — это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.
Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.
Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).
Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.
Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон
Разносторонний треугольник
Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.
Равнобедренный треугольник
Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.
Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.
Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.
Равносторонний треугольник
Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.
Площадь треугольника
Площадь разностороннего треугольника
Вычисляем площадь треугольника без особенностей — все его стороны разные и все углы разные.
Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле «площадь треугольника через две стороны и угол между ними»:
Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:
Формула Герона определения площади треугольника
Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.
, где
, где 
Площадь равнобедренного треугольника
Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.
К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:
Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:
Площадь прямоугольного треугольника
Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:
Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе
Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:
Площадь равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.
Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника: