Как решать точки экстремума

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаКак решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Источник

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Источник

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Пример 1. Рассмотрим функцию Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Пример 2. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Решение. Найдём производную функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Ищем экстремумы функции вместе

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Пример 3. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи построить её график.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумасуществует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, т.е. Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, откуда Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Критическими точками Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаразбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаконтрольной точкой может служить Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума: находим Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Взяв в интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремуматочку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, получим Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, а взяв в интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремуматочку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, имеем Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Итак, в интервалах Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаКак решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, а в интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаКак решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаэкстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума), а в точке Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумафункция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, а Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. В интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумафункция убывает, так как в этом интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, а в интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумавозрастает, так как в этом интервале Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаполучим уравнение Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, корни которого Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Пример 4. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, т.е. Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Находим производную Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи критические точки функции:

1) Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума;

2) Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Для этого найдём вторую производную Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи определим её знак при Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума: получим Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Так как Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, то Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаявляется точкой минимума функции, при этом Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

(здесь символом Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаобозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаозначает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, то Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Далее, находим

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума,

т.е. если Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, то Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Пример 6. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Пример 7. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, то из Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаполучаем Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Найдём первую производную функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Найдём критические точки функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Точки Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумане могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумапроизводная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— с минуса на плюс. Следовательно, Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— точка максимума, а точка Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Таким образом, экстремумы функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Пример 9. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Решение. Найдём область определения функции.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Найдём первую производную функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Найдём критические точки функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Таким образом, у данной функции две критические точки: Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумаи Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума. Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумапроизводная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Таким образом, минимум функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Пример 10. Найти экстремумы функции Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума

Решение. Найдём первую производную функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Найдём критические точки функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Так как для любого действительного x должно выполняться условие Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума, то

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремумапроизводная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума— точка максимума функции.

Найдём значение функции в точке максимума:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Таким образом, максимум функции:

Как решать точки экстремума. Смотреть фото Как решать точки экстремума. Смотреть картинку Как решать точки экстремума. Картинка про Как решать точки экстремума. Фото Как решать точки экстремума.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *