Как решать пределы с синусами

Пределы с тригонометрическими функциями

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Ответ$$\lim_\limits \frac<\sqrt<4+x>-2> <1-\cos 3x>= \infty$$

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Источник

Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Главным следствием первого замечательного предела считают:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Также следствиями являются:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Нужна помощь в написании работы?

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Таким образом найдём предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Преобразуем функцию и упростим её:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Вычислить предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Вычислить предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Вычислить предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Найти предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Подставим в функцию:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.

Найдём ответ.

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Задание

Вычислить предел функции:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Решение

Здесь так же получим неопределённость:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Значит, введём новую переменную t:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Средняя оценка 4.5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Смотрите также

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Источник

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

Примеры решений

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ$$ \lim_ \frac<\sin2x> <4x>=\frac<1> <2>$$Ответ$$ \lim_ \frac<\frac<\sin(x^2-9)>><\frac> = 1$$

Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей

Ответ$$ \lim_ \frac<\sin2x> = \frac<2> <3>$$

В статье: «Первый замечательный предел, примеры решения» было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Источник

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Как решать пределы с синусами. Смотреть фото Как решать пределы с синусами. Смотреть картинку Как решать пределы с синусами. Картинка про Как решать пределы с синусами. Фото Как решать пределы с синусами

Вернемся к пределу:

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Используя указанную формулу, получим:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показать\скрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

Источник

Второй замечательный предел

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы:

Смотрим на второе следствие и записываем ответ:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Уже теперь применяем формулу и получаем:

Ответ$$ \lim_ (6-5x)^\frac = e^ <-5>$$

Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела:

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

Продолжаем вычисление предела:

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

Продолжаем вычисление предела:

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *