Как решать линейные дроби
Как решить уравнение с неизвестным в дроби
Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей. Как, например, в уравнении ниже.
В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.
I способ решения
Сведение уравнения к пропорции
При решении уравнений способом пропорции необходимо выполнить следующие действия:
Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования.
Будем работать с правой частью уравнения. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь. Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.
Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.
II способ решения
Сведение к линейному уравнению без дробей
Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.
Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби «
| x − 4 |
| 5 |
» и «
| 2x + 4 |
| 9 |
».
Наша задача сделать так, чтобы в уравнении не осталось ни одной дроби.
Другими словами, необходимо свести уравнение к обычному линейному уравнению без неизвестного в дроби.
Чтобы избавиться от дробей в уравнении нужно:
Умножим каждый член уравнения на « 45 ».
При умножении уравнения на число нужно каждый член уравнения умножить на это число.
Линейные уравнения с дробями
Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.
Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:
В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:
Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:
Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».
После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.
Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:
Раскрываем скобки и упрощаем
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):
при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.
Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:
Решение уравнений с дробями
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
-2.
