докажите что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда
112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
Решим вспомогательную задачу: установим зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями.
Для A DAB запишем теорему косинусов:
Для ΔADC запишем теорему косинусов:
Складывая эти равенства, получаем:
Пусть ребра параллелепипеда равны a, b, c.
Для плоскости АА1С1С
а это сумма квадратов всех ребер параллелепипеда.
Что и требовалось доказать.
112. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 112
Будем исходить из того, что диагональное сечение параллелепипеда — параллелограмм.
Решим вспомогательную задачу: установим зависимость между сторонами параллелограмма и его диагоналями.
Для A DAB запишем теорему косинусов:
Для ΔADC запишем теорему косинусов:
Складывая эти равенства, получаем:
Пусть ребра параллелепипеда равны a, b, c.
Для плоскости DD1B1B
Для плоскости АА1С1С
А это сумма квадратов всех ребер параллелепипеда.