доказать что пространство полное
Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства
Определение и примеры [ править ]
Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Пусть M = (0; 1), ρ(x, y)=|x-y|. Рассмотрим последовательность
является примером фундаментальной последовательности элементов множества M, которая не сходится в M.
Как известно из математического анализа:
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e ∉ Q <\displaystyle \lim _>
.
ρ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 <\displaystyle \rho =<\sqrt <\sum _^.
Рассмотрим фунментальную последовательность
(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху). По определению фундаментальной последовательности,
∑ i = 1 n ( x i ( k ) − x i ( m ) ) 2 ϵ <\displaystyle <\sqrt <\sum _^.
| x n ( t ) − x m ( t ) | ϵ <\displaystyle |x_,
это означает, что последовательность < x n ( t ) ><\displaystyle \сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция
x ( t ) = lim n → ∞ x n ( t ) <\displaystyle x(t)=\lim _
Если в неравенстве
| x n ( t ) − x m ( t ) | ϵ <\displaystyle |x_,
Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций C 2 [ − 1 ; 1 ] <\displaystyle C_<2>[-1;1]> не является полным. Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида
Последовательность < g n ><\displaystyle \является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции g n <\displaystyle g_
и g m <\displaystyle g_
, они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины
причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно
Однако последовательность < g n ><\displaystyle \не сходится ни к одной непрерывной функции из C 2 [ 0 ; 1 ] <\displaystyle C_<2>[0;1]>
. Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию f ∈ C 2 [ − 1 ; 1 ] <\displaystyle f\in C_<2>[-1;1]>
и разрывную функцию
В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):
∫ − 1 1 [ f ( t ) − g ( t ) ] 2 d t ≤ ∫ − 1 1 [ f ( t ) − g n ( t ) ] 2 d t + ∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t <\displaystyle <\sqrt <\int \limits _<-1>^<1>[f(t)-g(t)]^<2>dt>>\leq <\sqrt <\int \limits _<-1>^<1>[f(t)-g_.
∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t ≤ 2 n <\displaystyle \int \limits _<-1>^<1>[g_
lim n → ∞ ∫ − 1 1 [ g n ( t ) − g ( t ) ] 2 d t = 0 <\displaystyle \lim _.
Теоремы о полных пространствах [ править ]
Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Последовательность центров x n <\displaystyle x_является фундаментальной, так как
По определению пересечения множеств
Следующий номер n_<1>>»> n 2 > n 1 <\displaystyle n_<2>>n_<1>> n_<1>>»/> выберем таким образом, чтобы при n_<2>>»> n > n 2 <\displaystyle n>n_<2>>
n_<2>>»/> выполнялось неравенство
Пусть мы уже выбрали номера
Номер n_n_
n_
Доказательство проведём от противного.
и так далее. Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров
радиусы которых стремятся к нулю, причём
По теореме о вложенных шарах пересечение
что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.
Пополнение метрического пространства [ править ]
Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространствах не все фундаментальные последовательности имеют предел. Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным. Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.
Напомним, что множество
называется всюду плотным в M, если имеет место равенство
Справедлива следующая теорема:
Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:
\.
Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
\
В силу неравенства четырёхугольника:
По неравенству четырёхугольника
\,
то по введённому определению эквивалентности
Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.
Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности
\eta _<3>\in R’> .
Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим
y=\lim _,
Тогда при n_<0>>»> n > n 0 <\displaystyle n>n_<0>> n_<0>>»/> будем иметь
\lim _,
а в пространстве R 2 <\displaystyle R_<2>>
\lim _,
то в силу непрерывности метрики
Доказать что пространство полное
Прежде чем давать точное определение полноты пространства, сделаем некоторые пояснения. Рассмотрим пространство полиномов, заданных на отрезке [0, 1], снабженное нормой пространства С. Рассмотрим далее последовательность полиномов
равномерно сходящуюся к функции е1, не являющейся, очевидно, полиномом. Мы видим, что для того чтобы последовательность
оказалась сходящейся, в пространстве
уже не хватило элементов. Пришлось выйти в более широкое пространство С. В этом смысле пространство
является неполным. Однако для того чтобы обнаружить этот факт, пришлось привлечь элемент
более широкого пространства С. В общем случае такое более широкое пространство может быть неизвестным, и поэтому
словие полноты должно формулироваться в терминах исходного пространства. С этой целью гводится понятие фундаментальной последовательности.
Дадим точные определения.
Определение 1. Последовательность в нормированном пространстве В называется фундаментальной, если для любого числа
существует такой помер
что
при всех
Теорема. Сходящаяся последовательность в нормированном пространстве является фундаментальной.
I Доказательство. Пусть последовательность сходится к элементу
Тогда для любого числа
существует номер
такой, что
при
Для любых
в силу неравенства треугольника имеем
откуда следует, что последовательность — фундаментальная. Теорема доказана.
Обратное утверждение: всякая фундаментальная последовательность является сходящейся — неверно. Чтобы это показать, вернемся к примеру, рассмотренному в начале этого пункта. Последовательность сходится в С и поэтому является фундаментальной в С. Ко так как в пространствах
введены одинаковые нормы, то последовательность
является также фундаментальной и в пространстве
Но эта последовательность не является сходящейся в пространстве
Итак, мы показали, что существуют фундаментальные последовательности, не являющиеся сходящимися. Кроме того, с помощью понятия фундаментальной последовательности мы описали в терминах самого пространства
тот факт, который в начале этого пункта был описаи с привлечением элемешов более широкого пространства. Интуитивно понимаемое отсутствие полноты пространства
выражено с помощью следующего утверждения: нашлась фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в пространстве
Определение 2. Нормированное пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем является сходящейся.
Докажем, что каждое подпространство полного нормированного пространства является полным пространством. Действительно, пусть В — полное нормированное пространство, его подпространство и
фундаментальная последовательность в
Тогда
есть фундаментальная последовательность в
, и поэтому она сходится к гекоторому элементу
В силу замкнутости множества
элемент
принадлежит ему, откуда следует полнота пространства
доказать, что каждое нормированное пространство может быть дополнено до полного. Мы, однако, этим заниматься не будем.
Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым пространством по имени Банаха. Полные бесконечномерные евклидовы пространства называются гильбертовыми пространствами по имени Гильберта.
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Определить полноту пространства
Здравствуйте. Ребят, очень нужна помощь.
Задача звучит следующим образом:
Является ли полным метрическим пространством?
.
Я понимаю, что необходимо воспользоваться теоремой:
«Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится.»
Однако я не совсем представляю себе доказательство сходимости любой последовательности из представленного нам пространства.
Я разобрал следующий пример, что был приведён на лекции:
«Является ли полным метрическим пространством?»
.
Для доказательства была использована одна из аксиом метрики:
Добавили и отняли в первом модуле + воспользовались свойством, что модуль суммы меньше либо равен суммы модулей и получили следующее:
Записали определение фундаментальности для данной последовательности:— фундаментальна когда
тогда и только тогда, когда
, что
и
,
будет выполняться:
После этого обозначили и получили:
— сходится относительно этой метрики, тогда пусть
. Отсюда при
, т.к.
и
Значит,
Не могу провести аналогичные рассуждения в примере, который привёл первым, т.к. меня смущает , ну и, собственно, доказательство верности аксиомы метрики для максимумов.
Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось ewert 25.09.2012, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Последний раз редактировалось ARD_ElEcTrO 25.09.2012, 17:53, всего редактировалось 3 раз(а).
ewert
А не могли бы вы поподробнее объяснить? Я так понимаю, что последовательность фундаментальна в пространстве с данной метрикой, если при , стремящимся к бесконечности независимо друг от друга,
будет стремится к нулю. Однако, как действовать, когда у нас есть
?
Допустим, взяли мы первый модуль . Разложили. Вторая скобка всегда положительна и будет стремится к бесконечности, при стремлении n к бесконечности. А вот о первой однозначно ответить нельзя. Я в замешательстве.
Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось ARD_ElEcTrO 26.09.2012, 00:26, всего редактировалось 1 раз.
По-моему, уловил мысль:
Рассматриваем по отдельности:
, так как вторая скобка всегда положительна, а первая будет стремиться к нулю, так как разность
и
будет стремится к нулю при
и при
. Итого, последовательность по иксам окажется фундаментальной.
Аналогично по игрекам.
Значит, после этого можно утверждать, что любая последовательность из будет фундаментальна, следовательно, полнота метрического пространства доказана.
Верно ведь? Это достаточно исчерпывающе?
Последний раз редактировалось ARD_ElEcTrO 16.10.2012, 13:15, всего редактировалось 1 раз.
Последний раз редактировалось involume 18.03.2013, 20:39, всего редактировалось 6 раз(а).
Можете, пожалуйста, по подробнее объяснить с того момента, когда мы начинаем доказывать полноту метрического пространства? Понятно, когда доказывается метрика, там 3 аксиомы, 2 из которых тривиальны и лишь по сути третья (неравенство треугольника) требует доказательства. Но так как там модули, то всё становится до банального легко.
Просто чудом повезло, что задание такое же, . Вернее, полностью оно звучит так: «Можно ли задать метрику на вещественной прямой с помощью
? Если да, то будет ли получившееся метрическое пространство полным?
«.
На первое я ответил, метрику задать можно, т.к. выполняются все 3 аксиомы. А вот с доказательством полноты у меня как-то не идёт ;-(
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
0>